Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9897
2018-11-09 
Плоский конденсатор, обкладки которого имеют форму квадрата со стороной $a$ и расположены на расстоянии $d \ll a$ друг от друга, заполнен диэлектриком, имеющим форму бруска размерами $a \times a \times d$, сложенного из грех материалов так, как показано на рис. Какова емкость $C$ этого конденсатора? Какова должна быть диэлектрическая постоянная однородного диэлектрика размерами $a \times a \times d$, чтобы при помещении его между обкладками конденсатора емкость последнего не изменилась по сравнению с предыдущим случаем? Изменится ли емкость конденсатора, если поверхность, отделяющая диэлектрик с проницаемостью $\epsilon_{3}$ от диэлектриков с проницаемостью $\epsilon_{1}$ и $\epsilon_{2}$, будет проводящей?
Решение:
Поскольку $d \ll a$, электрическое поле внутри конденсатора — кроме необходимого пространства у краев и вблизи границы раздела трех диэлектриков — является однородным. Поверхности, отделяющие диэлектрики $\epsilon_{1}$ от $\epsilon_{3}$ и $\epsilon_{2}$ от $\epsilon_{3}$, эквипотенциальны, хотя их потенциалы и не обязательно равны друг другу.
Учитывая сказанное, рассматриваемый конденсатор можно представить в виде четырех конденсаторов, соединенных, как показано на рис. Каждый из конденсаторов имеет размеры $a \times a/2 \times d/2$. Конденсатор $C_{1}$ заполнен диэлектриком с диэлектрической постоянной $\epsilon_{1}, C_{2}$ - диэлектриком с диэлектрической постоянной $\epsilon_{2}$, а $C_{3}$ - диэлектриком с диэлектрической постоянной $\epsilon_{3}$. Тогда имеем
$C_{1} = \frac{ \epsilon_{0} \epsilon_{1} a^{2} }{d}, C_{2} = \frac{ \epsilon_{0} \epsilon_{2} a^{2} }{d}, C_{3} = \frac{ \epsilon_{0} \epsilon_{3}a^{2} }{d}$.
Искомая емкость $C$ равна
$C = \frac{1}{ \frac{1}{C_{1} } + \frac{1}{C_{3} } } + \frac{1}{ \frac{1}{C_{2} } + \frac{1}{C_{3} } } = \frac{ \epsilon_{0}a^{2} }{d} \left ( \frac{ \epsilon_{1} \epsilon_{3} }{ \epsilon_{1} + \epsilon_{3} } + \frac{ \epsilon_{2} \epsilon_{3} }{ \epsilon_{2} + \epsilon_{3} } \right )$.
Из полученного выражения видно, что описанную в тексте задачи пластину, сложенную из трех различных диэлектриков, можно заменить пластиной однородного диэлектрика с диэлектрической постоянной
$\epsilon = \epsilon{3} \left ( \frac{ \epsilon_{1} }{ \epsilon_{1} + \epsilon_{3} } + \frac{ \epsilon_{2} }{ \epsilon_{2} + \epsilon_{3} } \right )$,
не изменяя при этом емкости конденсатора.
Если бы поверхность, отделяющая диэлектрик с диэлектрической постоянной $\epsilon_{3}$ от остальных диэлектриков, была проводящей, например была бы покрыта слоем металла, то замена одного конденсатора четырьмя, показанная на рис., была бы неправомерна, поскольку при этом не учитывается, что правые обкладки конденсаторов $C_{3}$ имеют в таком случае одинаковый потенциал. Нетрудно понять, что в этом случае первоначальный конденсатор следует представить в виде комбинации трех конденсаторов, как показано на рис., где $C_{3}^{ \prime} = 2C_{3}$. Тогда эквивалентная емкость будет равна
$C^{ \prime} = \frac{1}{ \frac{1}{2C_{3} } + \frac{1}{C_{1} + C_{2} } } = \frac{ \epsilon_{0}a^{2} }{d} \frac{2 \epsilon_{3} ( \epsilon_{1} + \epsilon_{2} ) }{ \epsilon_{1} + \epsilon_{2} + 2 \epsilon_{3} }$,
т. е. она оказывается иной, чем в предыдущем случае.
Плоский конденсатор, обкладки которого имеют форму квадрата со стороной $a$ и расположены на расстоянии $d \ll a$ друг от друга, заполнен диэлектриком, имеющим форму бруска размерами $a \times a \times d$, сложенного из грех материалов так, как показано на рис. Какова емкость $C$ этого конденсатора? Какова должна быть диэлектрическая постоянная однородного диэлектрика размерами $a \times a \times d$, чтобы при помещении его между обкладками конденсатора емкость последнего не изменилась по сравнению с предыдущим случаем? Изменится ли емкость конденсатора, если поверхность, отделяющая диэлектрик с проницаемостью $\epsilon_{3}$ от диэлектриков с проницаемостью $\epsilon_{1}$ и $\epsilon_{2}$, будет проводящей?
Решение:
Поскольку $d \ll a$, электрическое поле внутри конденсатора — кроме необходимого пространства у краев и вблизи границы раздела трех диэлектриков — является однородным. Поверхности, отделяющие диэлектрики $\epsilon_{1}$ от $\epsilon_{3}$ и $\epsilon_{2}$ от $\epsilon_{3}$, эквипотенциальны, хотя их потенциалы и не обязательно равны друг другу.
Учитывая сказанное, рассматриваемый конденсатор можно представить в виде четырех конденсаторов, соединенных, как показано на рис. Каждый из конденсаторов имеет размеры $a \times a/2 \times d/2$. Конденсатор $C_{1}$ заполнен диэлектриком с диэлектрической постоянной $\epsilon_{1}, C_{2}$ - диэлектриком с диэлектрической постоянной $\epsilon_{2}$, а $C_{3}$ - диэлектриком с диэлектрической постоянной $\epsilon_{3}$. Тогда имеем
$C_{1} = \frac{ \epsilon_{0} \epsilon_{1} a^{2} }{d}, C_{2} = \frac{ \epsilon_{0} \epsilon_{2} a^{2} }{d}, C_{3} = \frac{ \epsilon_{0} \epsilon_{3}a^{2} }{d}$.
Искомая емкость $C$ равна
$C = \frac{1}{ \frac{1}{C_{1} } + \frac{1}{C_{3} } } + \frac{1}{ \frac{1}{C_{2} } + \frac{1}{C_{3} } } = \frac{ \epsilon_{0}a^{2} }{d} \left ( \frac{ \epsilon_{1} \epsilon_{3} }{ \epsilon_{1} + \epsilon_{3} } + \frac{ \epsilon_{2} \epsilon_{3} }{ \epsilon_{2} + \epsilon_{3} } \right )$.
Из полученного выражения видно, что описанную в тексте задачи пластину, сложенную из трех различных диэлектриков, можно заменить пластиной однородного диэлектрика с диэлектрической постоянной
$\epsilon = \epsilon{3} \left ( \frac{ \epsilon_{1} }{ \epsilon_{1} + \epsilon_{3} } + \frac{ \epsilon_{2} }{ \epsilon_{2} + \epsilon_{3} } \right )$,
не изменяя при этом емкости конденсатора.
Если бы поверхность, отделяющая диэлектрик с диэлектрической постоянной $\epsilon_{3}$ от остальных диэлектриков, была проводящей, например была бы покрыта слоем металла, то замена одного конденсатора четырьмя, показанная на рис., была бы неправомерна, поскольку при этом не учитывается, что правые обкладки конденсаторов $C_{3}$ имеют в таком случае одинаковый потенциал. Нетрудно понять, что в этом случае первоначальный конденсатор следует представить в виде комбинации трех конденсаторов, как показано на рис., где $C_{3}^{ \prime} = 2C_{3}$. Тогда эквивалентная емкость будет равна
$C^{ \prime} = \frac{1}{ \frac{1}{2C_{3} } + \frac{1}{C_{1} + C_{2} } } = \frac{ \epsilon_{0}a^{2} }{d} \frac{2 \epsilon_{3} ( \epsilon_{1} + \epsilon_{2} ) }{ \epsilon_{1} + \epsilon_{2} + 2 \epsilon_{3} }$,
т. е. она оказывается иной, чем в предыдущем случае.
