Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9896
2018-11-09 
Какому необходимому и достаточному условию должны удовлетворять сопротивления $r_{1}, r_{2}, r_{3}, R_{1}, R_{2}, R_{3}$ чтобы участок контура, изображенный на рис. а, был эквивалентен участку, изображенному на рис. б? Другими словами, какое необходимое и достаточное условие должно выполняться, чтобы замена одного участка другим в любом случае не приводила к изменению напряжения и величин тока в цепи, находящейся за пределами пунктирной окружности?
Решение:
«Черный ящик» с двумя выводами вполне характеризуется зависимостью между одним напряжением и одной силой тока, а значит, и одним эквивалентным сопротивлением. Система с тремя выводами (рис.) характеризуется зависимостью между двумя напряжениями, например $U_{AB}$ и $U_{BC}$ ($U_{AC}$ однозначно определяется по этим двум напряжениям), и двумя токами, например $i_{A}$ и $i_{C}$ ($i_{B} = i_{A} + i_{C}$). Установим вид этой зависимости для обеих схем, приведенных в условии задачи, а затем исследуем условия их эквивалентности.
1. Для «звезды» (рис. а) имеем
$U_{AB} = i_{A}r_{2} + (i_{A} + i_{C} ) r_{3} = i_{A} (r_{2} + r_{3}) + i_{C}r_{3}$,
$U_{CB} = i_{C}r_{1} + (i_{A} + i_{C} ) r_{3} = i_{A}r_{3} + i_{C}(r_{1} + r_{3})$,
2. Для «треугольника» (рис. б) имеем
$i_{A} = \frac{U_{AB} }{R_{1} } + \frac{U_{AB} - U_{CB} }{R_{3} } = U_{AB} \left ( \frac{1}{R_{1} } + \frac{1}{R_{3}} \right ) - U_{CB} \frac{1}{R_{3} }$, (а)
$i_{C} = \frac{U_{CB} }{R_{2} } - \frac{U_{AB} - U_{CB} }{R_{3} } = - U_{AB} \frac{1}{R_{3} } + U_{CB} \left ( \frac{1}{R_{2} } + \frac{1}{R_{3}} \right )$.
Решая систему уравнений относительно «звезды», получаем
$i_{A} = U_{AB} \frac{r_{1} + r_{2} }{r_{1}r_{2}r_{3} \left ( \frac{1}{r_{1} } + \frac{1}{r_{2} } + \frac{1}{r_{3} } \right ) } - U_{CB} \frac{r_{3} }{r_{1}r_{2}r_{3} \left ( \frac{1}{r_{1} } + \frac{1}{r_{2} } + \frac{1}{r_{3} } \right ) }$, (б)
$i_{С} = - U_{AB} \frac{r_{3} }{r_{1}r_{2}r_{3} \left ( \frac{1}{r_{1} } + \frac{1}{r_{2} } + \frac{1}{r_{3} } \right ) } + U_{CB} \frac{r_{2} + r_{3} }{r_{1}r_{2}r_{3} \left ( \frac{1}{r_{1} } + \frac{1}{r_{2} } + \frac{1}{r_{3} } \right ) }$.
Требование неотличимости соединений «треугольником» и «звездой» равнозначно требованию, чтобы две последние системы уравнений [(а) и (б)] были идентичны. Это означает, что соответствующие коэффициенты должны быть равны
$\frac{1}{R_{1} } + \frac{1}{R_{3} } = \frac{r_{1} + r_{2} }{r_{1}r_{2}r_{3} \left ( \frac{1}{r_{1} } + \frac{1}{r_{2} } + \frac{1}{r_{3} } \right ) }$,
$\frac{1}{R_{3} } = \frac{r_{3} }{r_{1}r_{2}r_{3} \left ( \frac{1}{r_{1} } + \frac{1}{r_{2} } + \frac{1}{r_{3} } \right ) }$,
$\frac{1}{R_{2} } + \frac{1}{R_{3} } = \frac{r_{2} + r_{3} }{r_{1}r_{2}r_{3} \left ( \frac{1}{r_{1} } + \frac{1}{r_{2} } + \frac{1}{r_{3} } \right ) }$.
Эти связи устанавливают искомые необходимые и достаточные условия. Их можно записать в виде
$r_{i} = \frac{1}{R_{i} } \frac{R_{1}R_{2}R_{3} }{R_{1} + R_{2} + R_{3} }, i = 1,2,3$. (в)
К этому же выводу можно прийти быстрее, рассматривая частные случаи, например прикладывая напряжение к соответствующим двум концам обеих схем, оставляя третий вывод свободным и используя затем принцип суперпозиции для электрических полей и токов. Возможность замены «треугольника» «звездой» и обратно можно использовать при определении полного сопротивления более сложных схем. Например, сопротивление схемы, показанной на рис., можно определить, пользуясь эквивалентной схемой, приведенной на рис. Величины сопротивлений внутри пунктирной окружности определяются установленными выше соотношениями (в).
Какому необходимому и достаточному условию должны удовлетворять сопротивления $r_{1}, r_{2}, r_{3}, R_{1}, R_{2}, R_{3}$ чтобы участок контура, изображенный на рис. а, был эквивалентен участку, изображенному на рис. б? Другими словами, какое необходимое и достаточное условие должно выполняться, чтобы замена одного участка другим в любом случае не приводила к изменению напряжения и величин тока в цепи, находящейся за пределами пунктирной окружности?
Решение:
«Черный ящик» с двумя выводами вполне характеризуется зависимостью между одним напряжением и одной силой тока, а значит, и одним эквивалентным сопротивлением. Система с тремя выводами (рис.) характеризуется зависимостью между двумя напряжениями, например $U_{AB}$ и $U_{BC}$ ($U_{AC}$ однозначно определяется по этим двум напряжениям), и двумя токами, например $i_{A}$ и $i_{C}$ ($i_{B} = i_{A} + i_{C}$). Установим вид этой зависимости для обеих схем, приведенных в условии задачи, а затем исследуем условия их эквивалентности.
1. Для «звезды» (рис. а) имеем
$U_{AB} = i_{A}r_{2} + (i_{A} + i_{C} ) r_{3} = i_{A} (r_{2} + r_{3}) + i_{C}r_{3}$,
$U_{CB} = i_{C}r_{1} + (i_{A} + i_{C} ) r_{3} = i_{A}r_{3} + i_{C}(r_{1} + r_{3})$,
2. Для «треугольника» (рис. б) имеем
$i_{A} = \frac{U_{AB} }{R_{1} } + \frac{U_{AB} - U_{CB} }{R_{3} } = U_{AB} \left ( \frac{1}{R_{1} } + \frac{1}{R_{3}} \right ) - U_{CB} \frac{1}{R_{3} }$, (а)
$i_{C} = \frac{U_{CB} }{R_{2} } - \frac{U_{AB} - U_{CB} }{R_{3} } = - U_{AB} \frac{1}{R_{3} } + U_{CB} \left ( \frac{1}{R_{2} } + \frac{1}{R_{3}} \right )$.
Решая систему уравнений относительно «звезды», получаем
$i_{A} = U_{AB} \frac{r_{1} + r_{2} }{r_{1}r_{2}r_{3} \left ( \frac{1}{r_{1} } + \frac{1}{r_{2} } + \frac{1}{r_{3} } \right ) } - U_{CB} \frac{r_{3} }{r_{1}r_{2}r_{3} \left ( \frac{1}{r_{1} } + \frac{1}{r_{2} } + \frac{1}{r_{3} } \right ) }$, (б)
$i_{С} = - U_{AB} \frac{r_{3} }{r_{1}r_{2}r_{3} \left ( \frac{1}{r_{1} } + \frac{1}{r_{2} } + \frac{1}{r_{3} } \right ) } + U_{CB} \frac{r_{2} + r_{3} }{r_{1}r_{2}r_{3} \left ( \frac{1}{r_{1} } + \frac{1}{r_{2} } + \frac{1}{r_{3} } \right ) }$.
Требование неотличимости соединений «треугольником» и «звездой» равнозначно требованию, чтобы две последние системы уравнений [(а) и (б)] были идентичны. Это означает, что соответствующие коэффициенты должны быть равны
$\frac{1}{R_{1} } + \frac{1}{R_{3} } = \frac{r_{1} + r_{2} }{r_{1}r_{2}r_{3} \left ( \frac{1}{r_{1} } + \frac{1}{r_{2} } + \frac{1}{r_{3} } \right ) }$,
$\frac{1}{R_{3} } = \frac{r_{3} }{r_{1}r_{2}r_{3} \left ( \frac{1}{r_{1} } + \frac{1}{r_{2} } + \frac{1}{r_{3} } \right ) }$,
$\frac{1}{R_{2} } + \frac{1}{R_{3} } = \frac{r_{2} + r_{3} }{r_{1}r_{2}r_{3} \left ( \frac{1}{r_{1} } + \frac{1}{r_{2} } + \frac{1}{r_{3} } \right ) }$.
Эти связи устанавливают искомые необходимые и достаточные условия. Их можно записать в виде
$r_{i} = \frac{1}{R_{i} } \frac{R_{1}R_{2}R_{3} }{R_{1} + R_{2} + R_{3} }, i = 1,2,3$. (в)
К этому же выводу можно прийти быстрее, рассматривая частные случаи, например прикладывая напряжение к соответствующим двум концам обеих схем, оставляя третий вывод свободным и используя затем принцип суперпозиции для электрических полей и токов. Возможность замены «треугольника» «звездой» и обратно можно использовать при определении полного сопротивления более сложных схем. Например, сопротивление схемы, показанной на рис., можно определить, пользуясь эквивалентной схемой, приведенной на рис. Величины сопротивлений внутри пунктирной окружности определяются установленными выше соотношениями (в).
