Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9895
2018-11-09 
Определить общее сопротивление $R_{AB}$ резисторов, соединенных в куб, как показано на рис.
Решение:
Стандартный способ, основанный на решении системы уравнений, вытекающих из законов Ома и Кирхгофа, был бы в данном случае слишком громоздким. Попробуем решить задачу, пользуясь симметричностью системы. Обратим внимание, что при повороте на $120^{ \circ}$ вокруг оси АВ система занимает положение, не отличимое от первоначального.
Пусть токи, выходящие из вершины А, равны $I_{1}, I_{2}, I_{3}$ (рис. а). При повороте на $120^{ \circ}$ вокруг оси АВ ток $I_{1}$ переходит в $I_{3}, I_{2}$ в $I_{1}, I_{3}$ в $I_{2}$ (рис. б). Поэтому
$I_{1} = I_{2}, I_{2} = I_{3}, I_{3} = I_{1}$.
Все три значения силы тока равны, следовательно,
$I_{1} = I_{2} = I_{3} = I/3$.
Равенство токов одновременно означает и равенство потенциалов в точках $C_{1}, C_{2}$ и $C_{3}$. Аналогично можно доказать равенство потенциалов в точках $D_{1}, D_{2}$ и $D_{3}$.
Точки с одинаковыми потенциалами можно соединить друг с другом, не внося изменений в распределение токов и напряжений в цепи. Соединив между собой точки $C_{1}, C_{2}, C_{3}$ и $D_{1}, D_{2}, D_{3}$, мы получим схему, показанную на рис., которая эквивалентна исходной. Полное сопротивление цепи теперь легко определить, пользуясь тем, что она представляет собой комбинацию параллельно и последовательно соединенных резисторов:
$R_{AB} = \frac{r_{1} }{3} + \left ( \frac{3}{r_{3} } + \frac{3}{r_{4} } \right )^{-1} + \frac{r_{2} }{3} = \frac{1}{3} \left ( r_{1} + r_{2} + \frac{r_{3}r_{4} }{r_{3} + r_{4} } \right )$.
В заключение следует отметить, что если бы в контуре кроме омических сопротивлений содержались бы также катушки индуктивности или конденсаторы, то ситуация значительно усложнилась бы. Система уравнений для токов уже не была бы чисто алгебраической, так как токи зависели бы от времени и от начальных условий: начального заряда на конденсаторах и начальных токов в катушках. В общем случае даже в симметричной системе, например такой, что показана на рис., токи могут быть распределены и несимметрично, если в начальный момент заряды на конденсаторах были неодинаковы.
Определить общее сопротивление $R_{AB}$ резисторов, соединенных в куб, как показано на рис.
Решение:
Стандартный способ, основанный на решении системы уравнений, вытекающих из законов Ома и Кирхгофа, был бы в данном случае слишком громоздким. Попробуем решить задачу, пользуясь симметричностью системы. Обратим внимание, что при повороте на $120^{ \circ}$ вокруг оси АВ система занимает положение, не отличимое от первоначального.
Пусть токи, выходящие из вершины А, равны $I_{1}, I_{2}, I_{3}$ (рис. а). При повороте на $120^{ \circ}$ вокруг оси АВ ток $I_{1}$ переходит в $I_{3}, I_{2}$ в $I_{1}, I_{3}$ в $I_{2}$ (рис. б). Поэтому
$I_{1} = I_{2}, I_{2} = I_{3}, I_{3} = I_{1}$.
Все три значения силы тока равны, следовательно,
$I_{1} = I_{2} = I_{3} = I/3$.
Равенство токов одновременно означает и равенство потенциалов в точках $C_{1}, C_{2}$ и $C_{3}$. Аналогично можно доказать равенство потенциалов в точках $D_{1}, D_{2}$ и $D_{3}$.
Точки с одинаковыми потенциалами можно соединить друг с другом, не внося изменений в распределение токов и напряжений в цепи. Соединив между собой точки $C_{1}, C_{2}, C_{3}$ и $D_{1}, D_{2}, D_{3}$, мы получим схему, показанную на рис., которая эквивалентна исходной. Полное сопротивление цепи теперь легко определить, пользуясь тем, что она представляет собой комбинацию параллельно и последовательно соединенных резисторов:
$R_{AB} = \frac{r_{1} }{3} + \left ( \frac{3}{r_{3} } + \frac{3}{r_{4} } \right )^{-1} + \frac{r_{2} }{3} = \frac{1}{3} \left ( r_{1} + r_{2} + \frac{r_{3}r_{4} }{r_{3} + r_{4} } \right )$.
В заключение следует отметить, что если бы в контуре кроме омических сопротивлений содержались бы также катушки индуктивности или конденсаторы, то ситуация значительно усложнилась бы. Система уравнений для токов уже не была бы чисто алгебраической, так как токи зависели бы от времени и от начальных условий: начального заряда на конденсаторах и начальных токов в катушках. В общем случае даже в симметричной системе, например такой, что показана на рис., токи могут быть распределены и несимметрично, если в начальный момент заряды на конденсаторах были неодинаковы.
