Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9894
2018-11-09 
Пользуясь данными предыдущей задачи, определить индуктивность $L_{AB}$ схемы, изображенной на рис. Положение катушек и направление намотки указано па рисунке. Изменится ли результат, если изменить направление намотки на противоположное?
Решение:
Рассмотрим первый случай, когда катушки расположены последовательно (рис.). Для этой схемы справедливо соотношение
$U_{AB} = U_{AC} + U_{CB}$, но
$U_{AC} = L_{1} \frac{di}{dt} + M \frac{di}{dt}$,
$U_{CB} = L_{2} \frac{di}{dt} + M \frac{di}{dt}$.
Следовательно,
$U_{AB} = (L_{1} + L_{2} + 2M) \frac{di}{dt}$.
С другой стороны, согласно определению эквивалентной индуктивности $L_{AB}$ должно выполняться равенство
$U_{AB} = L_{AB} \frac{di}{dt}$.
Сравнивая два последних равенства, находим
$L_{AB} = L_{1} + L_{2} + 2M$.
Если бы катушка индуктивностью $L_{1}$ была навита в противоположную сторону, то, согласно правилу Ленца, в выражениях для $U_{AC}$ и $U_{CB}$ перед $M$ стоял бы знак минус, и тогда мы имели бы
$L_{AB} = L_{1} + L_{2} - 2M$.
Теперь рассмотрим случай, когда катушки расположены параллельно, как показано на рис. Можем записать следующие равенства:
$i = i_{1} + i_{2}$ (1)
$U_{AB} = L_{1} \frac{di_{1} }{dt} - M \frac{di_{2} }{dt}$ (верхняя ветвь) (2)
$U_{AB} = L_{2} \frac{di_{2} }{dt} - M \frac{di_{1} }{dt}$ (нижняя ветвь) (3)
Используя равенство (1), уравнения (2) и (3) можно представить в виде
$U_{AB} = L_{1} \frac{di}{dt} - (L_{1} + M ) \frac{di_{2} }{dt}$,
$U_{AB} = (L_{2} + M ) \frac{di_{2} }{dt} - M \frac{di}{dt}$.
Отсюда
$\frac{1}{L_{1} + M } U_{AB} = \frac{L_{1} }{L_{1} + M } \frac{di}{dt} - \frac{di_{2} }{dt}$,
$\frac{1}{L_{2} + M } U_{AB} = \frac{di_{2} }{dt} - \frac{M }{L_{2} + M } \frac{di}{dt}$.
Сложив эти уравнения и выделив коэффициенты при $U_{AB}$, находим
$U_{AB} = \frac{ \frac{L_{1} }{L_{1} + M } - \frac{M}{L_{2} + M } }{ \frac{1}{L_{1} + M } + \frac{1}{L_{2} + M } } \frac{di}{dt} = \frac{L_{1}L_{2} - M^{2} }{L_{1} + L_{2} + 2M } \frac{di}{dt}$.
Пользуясь определением индуктивности $L_{AB}$, получаем следующий конечный результат:
$L_{AB} = \frac{L_{1}L_{2} - M^{2} }{L_{1} + L_{2} + 2M }$.
Изменению направления намотки катушки индуктивности $L_{1}$ соответствует, согласно правилу Ленца, изменение знака при $M$ в уравнениях (2) и (3). В этом случае
$L_{AB} = \frac{L_{1}L_{2} - M^{2} }{L_{1} + L_{2} - 2M }$.
Пользуясь данными предыдущей задачи, определить индуктивность $L_{AB}$ схемы, изображенной на рис. Положение катушек и направление намотки указано па рисунке. Изменится ли результат, если изменить направление намотки на противоположное?
Решение:
Рассмотрим первый случай, когда катушки расположены последовательно (рис.). Для этой схемы справедливо соотношение
$U_{AB} = U_{AC} + U_{CB}$, но
$U_{AC} = L_{1} \frac{di}{dt} + M \frac{di}{dt}$,
$U_{CB} = L_{2} \frac{di}{dt} + M \frac{di}{dt}$.
Следовательно,
$U_{AB} = (L_{1} + L_{2} + 2M) \frac{di}{dt}$.
С другой стороны, согласно определению эквивалентной индуктивности $L_{AB}$ должно выполняться равенство
$U_{AB} = L_{AB} \frac{di}{dt}$.
Сравнивая два последних равенства, находим
$L_{AB} = L_{1} + L_{2} + 2M$.
Если бы катушка индуктивностью $L_{1}$ была навита в противоположную сторону, то, согласно правилу Ленца, в выражениях для $U_{AC}$ и $U_{CB}$ перед $M$ стоял бы знак минус, и тогда мы имели бы
$L_{AB} = L_{1} + L_{2} - 2M$.
Теперь рассмотрим случай, когда катушки расположены параллельно, как показано на рис. Можем записать следующие равенства:
$i = i_{1} + i_{2}$ (1)
$U_{AB} = L_{1} \frac{di_{1} }{dt} - M \frac{di_{2} }{dt}$ (верхняя ветвь) (2)
$U_{AB} = L_{2} \frac{di_{2} }{dt} - M \frac{di_{1} }{dt}$ (нижняя ветвь) (3)
Используя равенство (1), уравнения (2) и (3) можно представить в виде
$U_{AB} = L_{1} \frac{di}{dt} - (L_{1} + M ) \frac{di_{2} }{dt}$,
$U_{AB} = (L_{2} + M ) \frac{di_{2} }{dt} - M \frac{di}{dt}$.
Отсюда
$\frac{1}{L_{1} + M } U_{AB} = \frac{L_{1} }{L_{1} + M } \frac{di}{dt} - \frac{di_{2} }{dt}$,
$\frac{1}{L_{2} + M } U_{AB} = \frac{di_{2} }{dt} - \frac{M }{L_{2} + M } \frac{di}{dt}$.
Сложив эти уравнения и выделив коэффициенты при $U_{AB}$, находим
$U_{AB} = \frac{ \frac{L_{1} }{L_{1} + M } - \frac{M}{L_{2} + M } }{ \frac{1}{L_{1} + M } + \frac{1}{L_{2} + M } } \frac{di}{dt} = \frac{L_{1}L_{2} - M^{2} }{L_{1} + L_{2} + 2M } \frac{di}{dt}$.
Пользуясь определением индуктивности $L_{AB}$, получаем следующий конечный результат:
$L_{AB} = \frac{L_{1}L_{2} - M^{2} }{L_{1} + L_{2} + 2M }$.
Изменению направления намотки катушки индуктивности $L_{1}$ соответствует, согласно правилу Ленца, изменение знака при $M$ в уравнениях (2) и (3). В этом случае
$L_{AB} = \frac{L_{1}L_{2} - M^{2} }{L_{1} + L_{2} - 2M }$.
