Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9893
2018-11-09 
Две катушки с током могут взаимодействовать таким образом, что изменение тока в одной из них вызывает появление э. д. с. в другой, и наоборот. Мерой этого взаимодействия является коэффициент взаимной индукции $M > 0$. Дополнительная э. д. с., индуцированная в первой катушке, будет равна $\pm MdI_{2}(t)/dt$, а во второй $\pm MdI_{1}(t)/dt$, где $I_{1}(t)$ и $I_{2}$ - силы тока в первой и во второй катушках соответственно. Знак индуцированной э. д. с. определяется по правилу Ленца.
Пользуясь указанными данными, определить эквивалентную индуктивность $L_{AB}$ схемы, представленной на рис. Изменится ли (если да, то на сколько) полученное значение, если полярность одной из катушек изменить на противоположную? Какое наибольшее значение может иметь коэффициент взаимной индукции $M$? Объяснить полученный результат.
Решение:
Для верхнего контура схемы, изображенной на рис., имеем
$L_{2} \frac{dI_{2} }{dt} \pm M \frac{dI_{1} }{dt} = 0$.
Разность потенциалов $U_{AB}$ равна
$U_{AB} = L_{1} \frac{dI_{1} }{dt} \pm M \frac{dI_{2} }{dt}$.
В обеих формулах знак (+) или (-) выбирается в зависимости от направления намотки катушек согласно правилу Ленца. Из этих равенств получаем
$U_{AB} = L_{1} \frac{dI_{1}}{dt} \pm M ( \mp M ) \frac{1}{L_{2} } \frac{dI_{1} }{dt} = \left ( L_{1} - \frac{M^{2} }{L_{2} } \right ) \frac{dI_{1} }{dt}$.
Следовательно, независимо от направления намотки катушек эквивалентная индуктивность данной системы равна
$L_{AB} = L_{1} - \frac{M^{2} }{L_{2} }$.
Индуктивность $L$ - всегда положительная величина. В противном случае энергия катушки с током, равная $1/2LI^{2}$, должна была бы уменьшаться с увеличением тока $I$. Поэтому
$L_{1} - \frac{M^{2} }{L_{2} } \geq 0$,
но тогда
$M \leq \sqrt{L_{1}L_{2} }$.
Как видно, коэффициент взаимной индукции не может превышать среднего геометрического индуктивностей обеих катушек.
Заметим, что приведенное вычисление $L_{AB}$ не зависит от того, каким образом ток изменяется со временем, т. е. оно применимо как для синусоидальных токов, так и для несинусоидальных.
Две катушки с током могут взаимодействовать таким образом, что изменение тока в одной из них вызывает появление э. д. с. в другой, и наоборот. Мерой этого взаимодействия является коэффициент взаимной индукции $M > 0$. Дополнительная э. д. с., индуцированная в первой катушке, будет равна $\pm MdI_{2}(t)/dt$, а во второй $\pm MdI_{1}(t)/dt$, где $I_{1}(t)$ и $I_{2}$ - силы тока в первой и во второй катушках соответственно. Знак индуцированной э. д. с. определяется по правилу Ленца.
Пользуясь указанными данными, определить эквивалентную индуктивность $L_{AB}$ схемы, представленной на рис. Изменится ли (если да, то на сколько) полученное значение, если полярность одной из катушек изменить на противоположную? Какое наибольшее значение может иметь коэффициент взаимной индукции $M$? Объяснить полученный результат.
Решение:
Для верхнего контура схемы, изображенной на рис., имеем
$L_{2} \frac{dI_{2} }{dt} \pm M \frac{dI_{1} }{dt} = 0$.
Разность потенциалов $U_{AB}$ равна
$U_{AB} = L_{1} \frac{dI_{1} }{dt} \pm M \frac{dI_{2} }{dt}$.
В обеих формулах знак (+) или (-) выбирается в зависимости от направления намотки катушек согласно правилу Ленца. Из этих равенств получаем
$U_{AB} = L_{1} \frac{dI_{1}}{dt} \pm M ( \mp M ) \frac{1}{L_{2} } \frac{dI_{1} }{dt} = \left ( L_{1} - \frac{M^{2} }{L_{2} } \right ) \frac{dI_{1} }{dt}$.
Следовательно, независимо от направления намотки катушек эквивалентная индуктивность данной системы равна
$L_{AB} = L_{1} - \frac{M^{2} }{L_{2} }$.
Индуктивность $L$ - всегда положительная величина. В противном случае энергия катушки с током, равная $1/2LI^{2}$, должна была бы уменьшаться с увеличением тока $I$. Поэтому
$L_{1} - \frac{M^{2} }{L_{2} } \geq 0$,
но тогда
$M \leq \sqrt{L_{1}L_{2} }$.
Как видно, коэффициент взаимной индукции не может превышать среднего геометрического индуктивностей обеих катушек.
Заметим, что приведенное вычисление $L_{AB}$ не зависит от того, каким образом ток изменяется со временем, т. е. оно применимо как для синусоидальных токов, так и для несинусоидальных.
