Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 989
2016-09-17 
Известно, что при абсолютно упругом нелобовом ударе движущегося шара о такой же покоящийся шары разлетаются под углом $90^{ \circ}$. Найдите условия, при которых после абсолютно упругого нелобового соударения двух одинаковых движущихся шаров один из них остановится.
Решение:
Рассмотрим сначала случай нелобового абсолютно упругого удара шара массой $m$, движущегося со скоростью $\vec{v}$, о такой же покоящийся. Из законов сохранения импульса и энергии имеем:
$m \vec{v} = m \vec{v}_{1} + m \vec{v}_{2}, \frac{mv^{2}}{2} = frac{mv_{1}^{2}}{2} + \frac{mv_{2}^{2}}{2}$,
или
$\vec{v} = \vec{v}_{1} + \vec{v}_{2}, v^{2} = v_{1}^{2} + v_{2}^{2}$.
Из первого соотношения следует, что векторы $\vec{v}, \vec{v}_{1}$ и $\vec{v}_{2}$ образуют треугольник, а из второго соотношения — что этот треугольник прямоугольный, причём векторы $\vec{v}_{1}$ и $\vec{v}_{2}$ являются его катетами. Значит, действительно, после такого удара шары разлетаются под углом $90^{ \circ}$. Этот угол не зависит от прицельного расстояния $\rho$, от него зависят только конкретные направления разлёта шаров.
Так как написанные уравнения можно прочитать и справа налево (законы упругого удара обратимы!), то при столкновении шаров, движущихся со скоростями $\vec{u}_{1} = - \vec{v}_{1}$ и $\vec{u}_{2} = — \vec{v}_{2}$, один из шаров остановится, а второй будет двигаться со скоростью $\vec{u} = — \vec{v}$, если только расположение шаров в момент удара будет таким же, как в рассмотренном ранее случае. Для того, чтобы проводить рассуждения дальше, заметим, что при абсолютно упругом ударе потерь на трение нет, и поэтому тангенциальные составляющие скоростей шаров при нелобовом ударе не изменяются, а нормальными составляющими они обмениваются. Отсюда следует, что для остановки одного из шаров, кроме всего прочего, должно выполняться следующее условие: линия, проходящая через центры обоих шаров, должна при ударе совпадать с направлением скорости одного из них. Действительно, пусть эта линия совпадает с направлением скорости $\vec{u}_{2}$ второго шара (см. рис.). Тогда у второго шара при ударе отсутствует тангенциальная составляющая скорости, а у первого — нормальная. При ударе второй шар обменивается нормальной составляющей скорости с первым и останавливается. Первый же шар приобретает нормальную составляющую скорости и сохраняет тангенциальную, в результате чего продолжает двигаться со скоростью $\vec{u} = \vec{u}_{1} + \vec{u}_{2}$.
Отметим, ещё раз, что для остановки одного из шаров при абсолютно упругом нелобовом ударе одного условия $\vec{u}_{1} \perp \vec{u}_{2}$ недостаточно! Необходимо ещё выполнение условия, о котором шла речь выше.
Известно, что при абсолютно упругом нелобовом ударе движущегося шара о такой же покоящийся шары разлетаются под углом $90^{ \circ}$. Найдите условия, при которых после абсолютно упругого нелобового соударения двух одинаковых движущихся шаров один из них остановится.
Решение:
Рассмотрим сначала случай нелобового абсолютно упругого удара шара массой $m$, движущегося со скоростью $\vec{v}$, о такой же покоящийся. Из законов сохранения импульса и энергии имеем:
$m \vec{v} = m \vec{v}_{1} + m \vec{v}_{2}, \frac{mv^{2}}{2} = frac{mv_{1}^{2}}{2} + \frac{mv_{2}^{2}}{2}$,
или
$\vec{v} = \vec{v}_{1} + \vec{v}_{2}, v^{2} = v_{1}^{2} + v_{2}^{2}$.
Из первого соотношения следует, что векторы $\vec{v}, \vec{v}_{1}$ и $\vec{v}_{2}$ образуют треугольник, а из второго соотношения — что этот треугольник прямоугольный, причём векторы $\vec{v}_{1}$ и $\vec{v}_{2}$ являются его катетами. Значит, действительно, после такого удара шары разлетаются под углом $90^{ \circ}$. Этот угол не зависит от прицельного расстояния $\rho$, от него зависят только конкретные направления разлёта шаров.
Так как написанные уравнения можно прочитать и справа налево (законы упругого удара обратимы!), то при столкновении шаров, движущихся со скоростями $\vec{u}_{1} = - \vec{v}_{1}$ и $\vec{u}_{2} = — \vec{v}_{2}$, один из шаров остановится, а второй будет двигаться со скоростью $\vec{u} = — \vec{v}$, если только расположение шаров в момент удара будет таким же, как в рассмотренном ранее случае. Для того, чтобы проводить рассуждения дальше, заметим, что при абсолютно упругом ударе потерь на трение нет, и поэтому тангенциальные составляющие скоростей шаров при нелобовом ударе не изменяются, а нормальными составляющими они обмениваются. Отсюда следует, что для остановки одного из шаров, кроме всего прочего, должно выполняться следующее условие: линия, проходящая через центры обоих шаров, должна при ударе совпадать с направлением скорости одного из них. Действительно, пусть эта линия совпадает с направлением скорости $\vec{u}_{2}$ второго шара (см. рис.). Тогда у второго шара при ударе отсутствует тангенциальная составляющая скорости, а у первого — нормальная. При ударе второй шар обменивается нормальной составляющей скорости с первым и останавливается. Первый же шар приобретает нормальную составляющую скорости и сохраняет тангенциальную, в результате чего продолжает двигаться со скоростью $\vec{u} = \vec{u}_{1} + \vec{u}_{2}$.
Отметим, ещё раз, что для остановки одного из шаров при абсолютно упругом нелобовом ударе одного условия $\vec{u}_{1} \perp \vec{u}_{2}$ недостаточно! Необходимо ещё выполнение условия, о котором шла речь выше.
