Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 988
2016-09-17 
На гладкой горизонтальной поверхности расположены две одинаковые маленькие шайбы. В начальный момент времени первой шайбе сообщили некоторую скорость вдоль линии, соединяющей центры шайб. Оказалось, что за время $t$ первая шайба прошла путь $S_{1}$, а вторая — путь $S_{2}$. Чему могут быть равны начальная скорость первой шайбы и начальное расстояние между шайбами? Трение отсутствует, удар шайб друг о друга не обязательно абсолютно упругий.
Решение:
Если $S_{2} \neq 0$, то шайбы за рассматриваемый промежуток времени соударялись. Пусть $v$ — скорость первой шайбы до соударения. Соударение одинаковых шайб удобно исследовать в системе отсчёта, движущейся со скоростью $v/2$. В этой системе отсчёта шайбы до соударения движутся навстречу друг другу со скоростями $v/2$, противоположными по направлению. После столкновения шайбы разлетятся в противоположные стороны со скоростями $\alpha v/2$, где $\alpha$ — число от 0 до 1. В неподвижной системе отсчёта скорости шайб после соударения будут равны
$v_{1} = \frac{v}{2}(1 - \alpha), v_{2} = \frac{v}{2} (1 + \alpha)$,
а пути, пройденные шайбами за время $t$:
$S_{1} = v \tau + \frac{v}{2}(1- \alpha)(t - \tau), S_{2} = \frac{v}{2}(1 + \alpha)(t - \tau)$.
Здесь $\tau > 0$ — время, прошедшее от начала движения первой шайбы до момента её соударения со второй шайбой. Складывая два последних равенства, получаем: $S_{1} + S_{2} = vt$, откуда однозначно определяется начальная скорость первой шайбы:
$v = \frac{S_{1} + S_{2}}{t}$.
Подставляя эту скорость в выражение для $S_{2}$, находим:
$\frac{ \tau}{t} = 1 - \frac{2S_{2}}{(S_{1}+S_{2})(1 + \alpha)}$.
Начальное расстояние между шайбами
$l = v \tau = (S_{1} + S_{2}) \frac{ \tau}{t} = S_{1} + S_{2} - \frac{2S_{2}}{1 + \alpha}$.
Поскольку $0 \leq \alpha \leq 1$, то $l$ может принимать следующие значения: $S_{1} — S_{2} \leq l \leq S_{1}$. Это условие следует дополнить ограничением $l \geq 0$. С его учётом получаем диапазон возможных значений начального расстояния между шайбами при $S_{2} \neq 0$:
$max(S_{1} - S_{2}:0) \leq l \leq S_{1}$. При $S_{2} = 0$ шайбы не соударялись, что означает $l \geq S_{1}$ и $v = S_{1}/t$.
На гладкой горизонтальной поверхности расположены две одинаковые маленькие шайбы. В начальный момент времени первой шайбе сообщили некоторую скорость вдоль линии, соединяющей центры шайб. Оказалось, что за время $t$ первая шайба прошла путь $S_{1}$, а вторая — путь $S_{2}$. Чему могут быть равны начальная скорость первой шайбы и начальное расстояние между шайбами? Трение отсутствует, удар шайб друг о друга не обязательно абсолютно упругий.
Решение:
Если $S_{2} \neq 0$, то шайбы за рассматриваемый промежуток времени соударялись. Пусть $v$ — скорость первой шайбы до соударения. Соударение одинаковых шайб удобно исследовать в системе отсчёта, движущейся со скоростью $v/2$. В этой системе отсчёта шайбы до соударения движутся навстречу друг другу со скоростями $v/2$, противоположными по направлению. После столкновения шайбы разлетятся в противоположные стороны со скоростями $\alpha v/2$, где $\alpha$ — число от 0 до 1. В неподвижной системе отсчёта скорости шайб после соударения будут равны
$v_{1} = \frac{v}{2}(1 - \alpha), v_{2} = \frac{v}{2} (1 + \alpha)$,
а пути, пройденные шайбами за время $t$:
$S_{1} = v \tau + \frac{v}{2}(1- \alpha)(t - \tau), S_{2} = \frac{v}{2}(1 + \alpha)(t - \tau)$.
Здесь $\tau > 0$ — время, прошедшее от начала движения первой шайбы до момента её соударения со второй шайбой. Складывая два последних равенства, получаем: $S_{1} + S_{2} = vt$, откуда однозначно определяется начальная скорость первой шайбы:
$v = \frac{S_{1} + S_{2}}{t}$.
Подставляя эту скорость в выражение для $S_{2}$, находим:
$\frac{ \tau}{t} = 1 - \frac{2S_{2}}{(S_{1}+S_{2})(1 + \alpha)}$.
Начальное расстояние между шайбами
$l = v \tau = (S_{1} + S_{2}) \frac{ \tau}{t} = S_{1} + S_{2} - \frac{2S_{2}}{1 + \alpha}$.
Поскольку $0 \leq \alpha \leq 1$, то $l$ может принимать следующие значения: $S_{1} — S_{2} \leq l \leq S_{1}$. Это условие следует дополнить ограничением $l \geq 0$. С его учётом получаем диапазон возможных значений начального расстояния между шайбами при $S_{2} \neq 0$:
$max(S_{1} - S_{2}:0) \leq l \leq S_{1}$. При $S_{2} = 0$ шайбы не соударялись, что означает $l \geq S_{1}$ и $v = S_{1}/t$.
