Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9860
2018-11-04 
У растянутой на столе массивной цепочки один конец находится возле дырки. К концам цепочки прицепили одинаковые небольшие гирьки так, что одна гирька свесилась в дырку. После того, как цепочку отпустили, она стала соскальзывать в дырку стола. Чтобы уменьшить время соскальзывания, первоначальные гирьки заменили на гирьки удвоенной массы и эксперимент повторили. Правильно ли сделали? Обоснуйте свой ответ. Трением пренебречь.
Решение:
Пусть длина цепочки $L$, ее масса $m$, масса гирьки $M$. Из закона сохранения энергии получим зависимость скорости цепочки с гирьками $U_{1}$ от длины «свешивающейся» части $x$
$m \frac{U_{1}^{2}}{2} + 2M \frac{U_{1}^{2} }{2} = m \frac{x}{L} g \frac{x}{2} + Mgx$ (1)
Из (1) $U_{1} = \sqrt{ \frac{mg \left ( \frac{x}{L} \right ) + 2Mgx }{m + 2M} } = \sqrt{ \frac{gx^{2} }{L} + \frac{2Mgx \left ( 1 - \frac{x}{L} \right ) }{m + 2M} }$ (2)
Скорость цепочки с гирьками удвоенной массы при том же значении $x$
$U_{2} = \sqrt{ \frac{gx^{2} }{L} + \frac{4Mgx \left ( 1 - \frac{x}{L} \right ) }{m + 4M} }$ (3)
Все члены в подкоренных выражениях (2) и (3) положительны. 1-е члены в выражениях тождественны. Запишем отношения 2-го члена в (3) к соответствующему в (2) $\frac{4M(m + 2M)}{2M(m + 4M)} = \frac{4m + 8M}{2m + 8M} > 1$. То есть $U_{2} > U_{1}$ для любых одинаковых $x$.
Отсюда следует, что при одинаковом малом приращении $\Delta x$ соответствующее малое время для цепочки с гирьками удвоенной массы $\Delta t_{2}$ будет меньше, так как $\Delta t_{1} = \frac{ \Delta x}{U_{1} } > \Delta t_{2} = \frac{ \Delta x}{U_{2} }$.
Ввиду произвольности $x$ полное время соскальзывания цепочки с гирьками удвоенной массы будет меньше.
У растянутой на столе массивной цепочки один конец находится возле дырки. К концам цепочки прицепили одинаковые небольшие гирьки так, что одна гирька свесилась в дырку. После того, как цепочку отпустили, она стала соскальзывать в дырку стола. Чтобы уменьшить время соскальзывания, первоначальные гирьки заменили на гирьки удвоенной массы и эксперимент повторили. Правильно ли сделали? Обоснуйте свой ответ. Трением пренебречь.
Решение:
Пусть длина цепочки $L$, ее масса $m$, масса гирьки $M$. Из закона сохранения энергии получим зависимость скорости цепочки с гирьками $U_{1}$ от длины «свешивающейся» части $x$
$m \frac{U_{1}^{2}}{2} + 2M \frac{U_{1}^{2} }{2} = m \frac{x}{L} g \frac{x}{2} + Mgx$ (1)
Из (1) $U_{1} = \sqrt{ \frac{mg \left ( \frac{x}{L} \right ) + 2Mgx }{m + 2M} } = \sqrt{ \frac{gx^{2} }{L} + \frac{2Mgx \left ( 1 - \frac{x}{L} \right ) }{m + 2M} }$ (2)
Скорость цепочки с гирьками удвоенной массы при том же значении $x$
$U_{2} = \sqrt{ \frac{gx^{2} }{L} + \frac{4Mgx \left ( 1 - \frac{x}{L} \right ) }{m + 4M} }$ (3)
Все члены в подкоренных выражениях (2) и (3) положительны. 1-е члены в выражениях тождественны. Запишем отношения 2-го члена в (3) к соответствующему в (2) $\frac{4M(m + 2M)}{2M(m + 4M)} = \frac{4m + 8M}{2m + 8M} > 1$. То есть $U_{2} > U_{1}$ для любых одинаковых $x$.
Отсюда следует, что при одинаковом малом приращении $\Delta x$ соответствующее малое время для цепочки с гирьками удвоенной массы $\Delta t_{2}$ будет меньше, так как $\Delta t_{1} = \frac{ \Delta x}{U_{1} } > \Delta t_{2} = \frac{ \Delta x}{U_{2} }$.
Ввиду произвольности $x$ полное время соскальзывания цепочки с гирьками удвоенной массы будет меньше.
