Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9859
2018-11-04 
Изображенное на рисунке заполненное воздухом пневматическое устройство содержит три цилиндра с подвижными поршнями, выставленными под углами $120^{ \circ}$ друг относительно друга. Два поршня имеют площадь поперечного сечения $s_{1}$ и один $s_{2} (s_{2} > s_{1})$. Для транспортировки цилиндры стянули веревкой, продетой через кольца жестко соединенных с поршнями стержней (штоков). При каком отношении площадей $s_{2}/s_{1}$ удастся закрепить поршни таким образом? Трением между веревкой и отверстиями в штоках и между поршнями и стенками цилиндров пренебречь.
Решение:
Пусть избыточное давление в устройстве $P$. Для равновесия необходимо, чтобы $Ps_{2} = F_{2}$ и $Ps_{1} = F$, где $F_{2}$ и $F_{1}$ проекции на ось штока соответствующего поршня действующей со стороны веревки силы.
Пусть половина верхнего угла треугольника $\alpha$. Тогда $F_{2} = 2T \cos \alpha$.
Аналогичная проекция для нижнего поршня $F_{1} = T \cos 30^{ \circ} + T \cos(60^{ \circ} - \alpha)$.
Отношение $\frac{F_{2} }{F_{1} } = \frac{2 \cos \alpha}{ \cos 30^{ \circ} + \cos (60^{ \circ} - \alpha ) }$. Чем меньше $\alpha$, тем больше числитель и меньше знаменатель.
При $0^{ \circ} < \alpha <30^{ \circ}$ (по строению устройства), поэтому $1 < \frac{F_{2}}{F_{1} } < \frac{4}{ \sqrt{3} + 1 }$. Если $1 < \frac{Ps_{2} }{Ps_{1} } < \frac{4}{ \sqrt{3} + 1 }$, то при стягивании веревки будет достигнут угол $\alpha$, обеспечивающий равновесие.
Если увеличить верхний (по рисунку) угол, который обеспечивал равновесие то вследствие неравенств $F_{2} < Ps_{2}, F_{1} > Ps_{1}$ верхний поршень будет выдвигаться, уменьшая угол. Если верхний угол уменьшить, то неравенства поменяют знак, и верхний поршень будет вдвигаться, увеличивая угол. Следовательно, найденное равновесие устойчиво.
Изображенное на рисунке заполненное воздухом пневматическое устройство содержит три цилиндра с подвижными поршнями, выставленными под углами $120^{ \circ}$ друг относительно друга. Два поршня имеют площадь поперечного сечения $s_{1}$ и один $s_{2} (s_{2} > s_{1})$. Для транспортировки цилиндры стянули веревкой, продетой через кольца жестко соединенных с поршнями стержней (штоков). При каком отношении площадей $s_{2}/s_{1}$ удастся закрепить поршни таким образом? Трением между веревкой и отверстиями в штоках и между поршнями и стенками цилиндров пренебречь.
Решение:
Пусть избыточное давление в устройстве $P$. Для равновесия необходимо, чтобы $Ps_{2} = F_{2}$ и $Ps_{1} = F$, где $F_{2}$ и $F_{1}$ проекции на ось штока соответствующего поршня действующей со стороны веревки силы.
Пусть половина верхнего угла треугольника $\alpha$. Тогда $F_{2} = 2T \cos \alpha$.
Аналогичная проекция для нижнего поршня $F_{1} = T \cos 30^{ \circ} + T \cos(60^{ \circ} - \alpha)$.
Отношение $\frac{F_{2} }{F_{1} } = \frac{2 \cos \alpha}{ \cos 30^{ \circ} + \cos (60^{ \circ} - \alpha ) }$. Чем меньше $\alpha$, тем больше числитель и меньше знаменатель.
При $0^{ \circ} < \alpha <30^{ \circ}$ (по строению устройства), поэтому $1 < \frac{F_{2}}{F_{1} } < \frac{4}{ \sqrt{3} + 1 }$. Если $1 < \frac{Ps_{2} }{Ps_{1} } < \frac{4}{ \sqrt{3} + 1 }$, то при стягивании веревки будет достигнут угол $\alpha$, обеспечивающий равновесие.
Если увеличить верхний (по рисунку) угол, который обеспечивал равновесие то вследствие неравенств $F_{2} < Ps_{2}, F_{1} > Ps_{1}$ верхний поршень будет выдвигаться, уменьшая угол. Если верхний угол уменьшить, то неравенства поменяют знак, и верхний поршень будет вдвигаться, увеличивая угол. Следовательно, найденное равновесие устойчиво.
