Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 985
2016-09-17 
На массивный гладкий цилиндр радиусом $R$, движущийся поступательно со скоростью $u$, налетает маленький шарик, движущийся навстречу цилиндру перпендикулярно его оси со скоростью $v$ (см. рисунок). Расстояние между линией, вдоль которой движется шарик, и плоскостью, в которой движется ось цилиндра, равно $L (L < R)$. Найдите величину скорости шарика $v_{1}$ после абсолютно упругого удара о цилиндр. Сила тяжести отсутствует.
Решение:
Перейдём в систему отсчёта, связанную с движущимся цилиндром. В ней перед ударом шарик движется со скоростью $\vec{v} + \vec{u}$ (см. рис.).
Так как цилиндр гладкий и между ним и шариком не действуют силы трения, то углы между нормалью к поверхности цилиндра в месте удара и направлениями движения шарика до и после удара одинаковы. Следовательно, после удара о цилиндр шарик в движущейся системе отсчёта будет двигаться с той же по модулю скоростью $\vec{v} + \vec{u}$ под углом $\beta = \pi - 2 \alpha$ к направлению исходного движения, причём $ \cos \alpha = L/R$.
Вернёмся обратно в неподвижную систему отсчёта, связанную с землёй. В ней скорость шарика после удара $\vec{v}_{1}$ будет представлять собой векторную сумму скорости $\vec{u}$ цилиндра относительно земли и скорости $\vec{v} + \vec{u}$ шарика относительно цилиндра (см. рис.). Используя теорему косинусов, получим:
$v_{1}^{2} = u^{2} + (v + u)^{2} — 2u(v + u) \cos 2 \alpha = v^{2} + 2u^{2}(1 - \cos 2 \alpha) + 2uv (1 - \cos 2 \alpha) = v^{2} + 2u(u + v)(1 - \cos 2 \alpha) = v^{2} + 4u(u+v)(1 - \cos^{2} \alpha)$.
С учётом выражения для cos а окончательно получаем:
$v_{1} = \sqrt{ v^{2} + 4u(u+v) \left ( 1 - \frac{L^{2}}{R^{2}} \right )}$
На массивный гладкий цилиндр радиусом $R$, движущийся поступательно со скоростью $u$, налетает маленький шарик, движущийся навстречу цилиндру перпендикулярно его оси со скоростью $v$ (см. рисунок). Расстояние между линией, вдоль которой движется шарик, и плоскостью, в которой движется ось цилиндра, равно $L (L < R)$. Найдите величину скорости шарика $v_{1}$ после абсолютно упругого удара о цилиндр. Сила тяжести отсутствует.
Решение:
Перейдём в систему отсчёта, связанную с движущимся цилиндром. В ней перед ударом шарик движется со скоростью $\vec{v} + \vec{u}$ (см. рис.).
Так как цилиндр гладкий и между ним и шариком не действуют силы трения, то углы между нормалью к поверхности цилиндра в месте удара и направлениями движения шарика до и после удара одинаковы. Следовательно, после удара о цилиндр шарик в движущейся системе отсчёта будет двигаться с той же по модулю скоростью $\vec{v} + \vec{u}$ под углом $\beta = \pi - 2 \alpha$ к направлению исходного движения, причём $ \cos \alpha = L/R$.
Вернёмся обратно в неподвижную систему отсчёта, связанную с землёй. В ней скорость шарика после удара $\vec{v}_{1}$ будет представлять собой векторную сумму скорости $\vec{u}$ цилиндра относительно земли и скорости $\vec{v} + \vec{u}$ шарика относительно цилиндра (см. рис.). Используя теорему косинусов, получим:
$v_{1}^{2} = u^{2} + (v + u)^{2} — 2u(v + u) \cos 2 \alpha = v^{2} + 2u^{2}(1 - \cos 2 \alpha) + 2uv (1 - \cos 2 \alpha) = v^{2} + 2u(u + v)(1 - \cos 2 \alpha) = v^{2} + 4u(u+v)(1 - \cos^{2} \alpha)$.
С учётом выражения для cos а окончательно получаем:
$v_{1} = \sqrt{ v^{2} + 4u(u+v) \left ( 1 - \frac{L^{2}}{R^{2}} \right )}$
