Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 978
2016-09-17 
Спутник массой $m$, движущийся со скоростью у почти по круговой орбите вблизи поверхности Земли, испытывает действие постоянной тормозящей силы $F$. Зная ускорение $g$ свободного падения на поверхности Земли, найдите скорость $v_{c}$ снижения спутника, полагая, что изменение радиуса орбиты происходит достаточно медленно.
Решение:
Запишем уравнение движения спутника по круговой орбите радиуса $R$:
$ \frac{mv_{R}^{2}}{R} = \frac{GmM_{з}}{R^{2}} = \frac{mgR_{з}^{2}}{R^{2}}$. (1)
Здесь $v_{R}$ — скорость спутника при движении по орбите радиуса $R, M_{з}$ — масса Земли, $R_{з}$ — её радиус, $g$ — ускорение свободного падения на поверхности Земли.
Пусть за малое время $\Delta t$ радиус орбиты уменьшился на $\Delta R$. Тогда из закона изменения механической энергии имеем:
$\frac{mv_{R- \Delta R}^{2}}{2} - \frac{mv_{R}^{2}}{2} + \left ( - \frac{mgR_{з}^{2}}{R- \Delta R} - \left ( - \frac{mgR_{з}^{2}}{R} \right ) \right ) = -Fv \Delta t$. (2)
Кроме того, можно записать уравнение движения спутника по орбите радиуса $R — \Delta R$ со скоростью $v_{R - \Delta R}$, аналогичное (1):
$\frac{mv_{R- \Delta R}^{2}}{R - \Delta R} = \frac{mg R_{з}^{2}}{(R - \Delta R)^{2}}$. (3)
Выражая из (1) и (3) $v_{R}^{2}$ и $v_{R- \Delta R}^{2}$ и подставляя их в (2), получим соотношение, связывающее изменение радиуса орбиты $\Delta R$ с интервалом времени $\Delta t$:
$\Delta R= \frac{2FvR(R - \Delta R)}{mgR_{з}^{2}} \Delta t$.
Учитывая, что $\Delta R \ll R, R \sim R_{з}$, Для скорости снижения спутника окончательно получим:
$v_{сн} = \frac{ \Delta R}{ \Delta t} = \frac{2FvR(R- \Delta R)}{mgR_{з}^{2}} \approx \frac{2Fv}{mg}$.
Спутник массой $m$, движущийся со скоростью у почти по круговой орбите вблизи поверхности Земли, испытывает действие постоянной тормозящей силы $F$. Зная ускорение $g$ свободного падения на поверхности Земли, найдите скорость $v_{c}$ снижения спутника, полагая, что изменение радиуса орбиты происходит достаточно медленно.
Решение:
Запишем уравнение движения спутника по круговой орбите радиуса $R$:
$ \frac{mv_{R}^{2}}{R} = \frac{GmM_{з}}{R^{2}} = \frac{mgR_{з}^{2}}{R^{2}}$. (1)
Здесь $v_{R}$ — скорость спутника при движении по орбите радиуса $R, M_{з}$ — масса Земли, $R_{з}$ — её радиус, $g$ — ускорение свободного падения на поверхности Земли.
Пусть за малое время $\Delta t$ радиус орбиты уменьшился на $\Delta R$. Тогда из закона изменения механической энергии имеем:
$\frac{mv_{R- \Delta R}^{2}}{2} - \frac{mv_{R}^{2}}{2} + \left ( - \frac{mgR_{з}^{2}}{R- \Delta R} - \left ( - \frac{mgR_{з}^{2}}{R} \right ) \right ) = -Fv \Delta t$. (2)
Кроме того, можно записать уравнение движения спутника по орбите радиуса $R — \Delta R$ со скоростью $v_{R - \Delta R}$, аналогичное (1):
$\frac{mv_{R- \Delta R}^{2}}{R - \Delta R} = \frac{mg R_{з}^{2}}{(R - \Delta R)^{2}}$. (3)
Выражая из (1) и (3) $v_{R}^{2}$ и $v_{R- \Delta R}^{2}$ и подставляя их в (2), получим соотношение, связывающее изменение радиуса орбиты $\Delta R$ с интервалом времени $\Delta t$:
$\Delta R= \frac{2FvR(R - \Delta R)}{mgR_{з}^{2}} \Delta t$.
Учитывая, что $\Delta R \ll R, R \sim R_{з}$, Для скорости снижения спутника окончательно получим:
$v_{сн} = \frac{ \Delta R}{ \Delta t} = \frac{2FvR(R- \Delta R)}{mgR_{з}^{2}} \approx \frac{2Fv}{mg}$.
