Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9775
2018-11-01 
Брусок плавает в воде. В него втыкают одинаковые стальные иглы. При 99 как угодно воткнутых иглах часть бруска торчит из воды. Наименьшее число игл, при котором брусок погружается ниже уровня воды, $N = 100$. Сколько ещё игл можно воткнуть, чтобы брусок продолжал оставаться наплаву? Плотность стали $\rho = 7,8 \rho_{0}$, где $\rho_{0}$ плотность воды. Объёмом воткнутой части иглы и изменением объёма бруска при втыкании игл пренебречь.
Решение:
Погружение бруска от втыкания одной иглы, зависит от того, куда она втыкается. Если игла остаётся целиком в воздухе, то масса вытесненной бруском воды равна массе иглы $m$, а объём погружения бруска увеличится на $v_{0} = \frac{m}{ \rho_{0}}$. Если игла целиком в воде, то объём погружения бруска меньше на объём иглы $v = m/ \rho$, то есть он тогда равен $\frac{m}{ \rho_{0} } - \frac{m}{ \rho}$. Суммарный вытесненный объём остаётся, конечно, прежним. Понятно поэтому, что брусок сильнее всего погружается если иглы втыкаются сверху и они целиком в воздухе.
Рассмотрим предельную ситуацию, когда при $N$ иглах в воздухе верхняя грань бруска точно на уровне поверхности воды. Втыкание дополнительных игл приведёт к тому, что они частично окажутся в воде. Какое число игл полностью находящихся в воде способен удержать брусок? Поскольку масса дополнительно вытесненной воды $(N + \Delta N) \rho_{0}v$ равна массе дополнительных игл $\Delta N \rho v$, то $(N + \Delta N) \rho_{0} v = \Delta N \rho v$, и $\Delta N = \frac{N \rho_{0}}{ \rho - \rho_{0} } = \frac{100}{6,8} \approx 14,7$.
Если иглы не ломать, то их число должно быть целым. Понятно, что при $\Delta N = 15$ масса вытесненной воды $(N + \Delta N) \rho_{0} v$ меньше массы 15 игл и брусок вместе с иглами уйдёт на дно. При $\Delta N = 14$ иглы просто частично останутся в воздухе.
Однако условия задачи не исключают другой предельной ситуации. При $N - 1$ игле, остающихся в воздухе, брусок ещё не полностью погружён в воду, но его верхняя грань почти на уровне поверхности воды. Тогда при $N$ иглах масса теперь вытесненной иглами воды равна массе одной иглы. Поэтому масса дополнительно вытесненной воды теперь будет $(N + \Delta N) \rho_{0}v - \rho v$. Приравнивая её массе дополнительных игл $\Delta N \rho v$ получим соотношение $(N + \Delta N) \rho_{0} - \rho = \Delta N \rho$, откуда $\Delta N = \frac{N \rho_{0} - \rho}{ \rho - \rho_{0} } = \frac{92,2}{6,8} \approx 13,5$.
Итак при $\Delta N = 13$ брусок с иглами заведомо не утонет, может не утонуть при 14 иглах, но при 15 утонет заведомо.
Брусок плавает в воде. В него втыкают одинаковые стальные иглы. При 99 как угодно воткнутых иглах часть бруска торчит из воды. Наименьшее число игл, при котором брусок погружается ниже уровня воды, $N = 100$. Сколько ещё игл можно воткнуть, чтобы брусок продолжал оставаться наплаву? Плотность стали $\rho = 7,8 \rho_{0}$, где $\rho_{0}$ плотность воды. Объёмом воткнутой части иглы и изменением объёма бруска при втыкании игл пренебречь.
Решение:
Погружение бруска от втыкания одной иглы, зависит от того, куда она втыкается. Если игла остаётся целиком в воздухе, то масса вытесненной бруском воды равна массе иглы $m$, а объём погружения бруска увеличится на $v_{0} = \frac{m}{ \rho_{0}}$. Если игла целиком в воде, то объём погружения бруска меньше на объём иглы $v = m/ \rho$, то есть он тогда равен $\frac{m}{ \rho_{0} } - \frac{m}{ \rho}$. Суммарный вытесненный объём остаётся, конечно, прежним. Понятно поэтому, что брусок сильнее всего погружается если иглы втыкаются сверху и они целиком в воздухе.
Рассмотрим предельную ситуацию, когда при $N$ иглах в воздухе верхняя грань бруска точно на уровне поверхности воды. Втыкание дополнительных игл приведёт к тому, что они частично окажутся в воде. Какое число игл полностью находящихся в воде способен удержать брусок? Поскольку масса дополнительно вытесненной воды $(N + \Delta N) \rho_{0}v$ равна массе дополнительных игл $\Delta N \rho v$, то $(N + \Delta N) \rho_{0} v = \Delta N \rho v$, и $\Delta N = \frac{N \rho_{0}}{ \rho - \rho_{0} } = \frac{100}{6,8} \approx 14,7$.
Если иглы не ломать, то их число должно быть целым. Понятно, что при $\Delta N = 15$ масса вытесненной воды $(N + \Delta N) \rho_{0} v$ меньше массы 15 игл и брусок вместе с иглами уйдёт на дно. При $\Delta N = 14$ иглы просто частично останутся в воздухе.
Однако условия задачи не исключают другой предельной ситуации. При $N - 1$ игле, остающихся в воздухе, брусок ещё не полностью погружён в воду, но его верхняя грань почти на уровне поверхности воды. Тогда при $N$ иглах масса теперь вытесненной иглами воды равна массе одной иглы. Поэтому масса дополнительно вытесненной воды теперь будет $(N + \Delta N) \rho_{0}v - \rho v$. Приравнивая её массе дополнительных игл $\Delta N \rho v$ получим соотношение $(N + \Delta N) \rho_{0} - \rho = \Delta N \rho$, откуда $\Delta N = \frac{N \rho_{0} - \rho}{ \rho - \rho_{0} } = \frac{92,2}{6,8} \approx 13,5$.
Итак при $\Delta N = 13$ брусок с иглами заведомо не утонет, может не утонуть при 14 иглах, но при 15 утонет заведомо.
