2016-09-17
При перелёте с орбитальной станции «Мир» на станцию «Салют-7» наши космонавты затормозили свой корабль, перешли с основной орбиты на более низкую, промежуточную орбиту и за время $t = 30$ часов нагнали «Салют-7», который летел впереди «Мира» по основной орбите на расстоянии $L = 3000 км$. После этого они, разогнав корабль, снова поднялись на основную орбиту и состыковались с «Салютом-7». Считая орбиты круговыми, определите, на сколько километров промежуточная орбита ниже основной. Высоты орбит много меньше радиуса Земли.
Решение:
Будем считать, что время, необходимое для перехода между двумя орбитами, много меньше 30 часов, и им можно пренебречь. Угловое расстояние между двумя станциями равно $\Delta \phi = L/R$, где $R$ — радиус основной круговой орбиты. Найдём зависимость угловой скорости и вращения спутника Земли по круговой орбите от её радиуса. Из второго закона Ньютона получаем:
$\omega^{2} R = G \frac{M_{з}}{R^{2}} = G \frac{M_{з}}{R_{з}^{2}} \left ( \frac{R_{з}}{R} \right )^{2} = g \left ( \frac{R_{з}}{R} \right )^{2}$,
где $R_{з}$ — радиус Земли, $M_{з}$ — её масса, $G$ — гравитационная постоянная. Отсюда для близких орбит с малой разностью радиусов $\Delta R$ получаем: $2 \omega \Delta \omega R + \omega^{2} \Delta R = —2gR_{з}^{2} \Delta R/R^{3}$. Разделив это уравнение на $\omega^{2}R = g \left ( \frac{R_{з}}{R} \right )$, находим, что $\Delta \omega = — \frac{3}{2} \omega \frac{ \Delta R}{R}$ (здесь $\Delta R < 0, \Delta \omega > 0$). С другой стороны, $\Delta \phi = \frac{L}{R} = t \Delta \omega = \frac{3}{2} \omega t \frac{| \Delta R|}{R}$, откуда, с учётом того, что $\omega \approx \sqrt{g/R_{з}} \approx 1,2 \cdot 10^{-3} с^{-1}$, окончательно получаем:
$| \Delta R| = \frac{2L}{3 \omega t} \approx 15 км$.