Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9757
2018-11-01 
Слегка рассеянный повар решил отварить большую свеклу. Он взял две кастрюли с одинаковым количеством горячей воды (с температурой $T_{в} = 60^{ \circ} С$) и свеклу ($T_{с} = 20^{ \circ} С$). Разрезал свеклу пополам и положил половину корнеплода в левую кастрюлю. Потом задумался и снова отрезал половину куска от оставшейся свеклы. Этот кусок он положил в правую кастрюлю, потом опять отрезал половину оставшейся свеклы и положил в левую кастрюлю. И так до тех пор, пока было, что резать. Известно, что прямо перед тем, как повар стал разрезать свеклу второй раз, значения температуры воды в кастрюлях различались на $\Delta T = 8^{ \circ} С$. На сколько различались эти значения после полной «раскладки» свеклы по кастрюлям? Теплообменом с окружающей средой пренебречь, удельные теплоемкости свеклы и воды считать равными.
Решение:
Введем обозначения $M_{в}$ - масса воды в одной кастрюле, $M_{с}$ - масса всего корнеплода, $C_{в}$ - удельная теплоемкость воды. Запишем уравнение теплового баланса для системы (вода + половина свеклы)
$M_{в}T_{в}C_{в} + 0,5M_{с}T_{с}C_{в} = ( T_{в} - \Delta T)(M_{в} + 0,5M_{с})C_{в}$ (1)
$(T_{в} - \Delta T)$ - это температура воды после того, как в нее опустили свеклу первый раз.
Найдем отношение $X = M_{в}/M_{с}$, от которого и зависит изменение температуры. Для этого разделим обе части уравнения на $M_{с}$.
Преобразуя уравнение, получаем
$XT_{в} + 0,5T_{с} = (T_{в} - \Delta T)(X + 0,5)$ или $X = 0, 5 \frac{T_{в} - T_{с} - \Delta T}{ \Delta T}$ (2)
Таким образом, $X = 2$.
Заметим, что если бы в воду первый раз положили не 1/2 часть свеклы, а $1/k$, то в уравнении (2) вместо 0,5 стоял бы коэффициент $1/k$.
В правую кастрюлю свеклы всегда попадает меньше вдвое, чем в левую, т.е. в конечном итоге 2/3 всей свеклы будет в левой, а 1/3 в правой кастрюле.
Если записать уравнение теплового баланса для конечного состояния, то для левой кастрюли оно будет иметь вид:
$XT_{в} + \frac{2}{3}T_{с} = T_{л} \left ( X + \frac{2}{3} \right )$ или $T_{л} = 50^{ \circ} С$ а для правой: $XT_{в} + \frac{1}{3}T_{с} = T_{п} \left ( X + \frac{1}{3} \right )$ или $T_{п} \approx 54,3^{ \circ} С$.
Здесь $T_{л}$ и $T_{п}$ - конечные температуры воды слева и справа,
Таким образом, искомая величина разница составит примерно $4,3^{ \circ} С$.
Слегка рассеянный повар решил отварить большую свеклу. Он взял две кастрюли с одинаковым количеством горячей воды (с температурой $T_{в} = 60^{ \circ} С$) и свеклу ($T_{с} = 20^{ \circ} С$). Разрезал свеклу пополам и положил половину корнеплода в левую кастрюлю. Потом задумался и снова отрезал половину куска от оставшейся свеклы. Этот кусок он положил в правую кастрюлю, потом опять отрезал половину оставшейся свеклы и положил в левую кастрюлю. И так до тех пор, пока было, что резать. Известно, что прямо перед тем, как повар стал разрезать свеклу второй раз, значения температуры воды в кастрюлях различались на $\Delta T = 8^{ \circ} С$. На сколько различались эти значения после полной «раскладки» свеклы по кастрюлям? Теплообменом с окружающей средой пренебречь, удельные теплоемкости свеклы и воды считать равными.
Решение:
Введем обозначения $M_{в}$ - масса воды в одной кастрюле, $M_{с}$ - масса всего корнеплода, $C_{в}$ - удельная теплоемкость воды. Запишем уравнение теплового баланса для системы (вода + половина свеклы)
$M_{в}T_{в}C_{в} + 0,5M_{с}T_{с}C_{в} = ( T_{в} - \Delta T)(M_{в} + 0,5M_{с})C_{в}$ (1)
$(T_{в} - \Delta T)$ - это температура воды после того, как в нее опустили свеклу первый раз.
Найдем отношение $X = M_{в}/M_{с}$, от которого и зависит изменение температуры. Для этого разделим обе части уравнения на $M_{с}$.
Преобразуя уравнение, получаем
$XT_{в} + 0,5T_{с} = (T_{в} - \Delta T)(X + 0,5)$ или $X = 0, 5 \frac{T_{в} - T_{с} - \Delta T}{ \Delta T}$ (2)
Таким образом, $X = 2$.
Заметим, что если бы в воду первый раз положили не 1/2 часть свеклы, а $1/k$, то в уравнении (2) вместо 0,5 стоял бы коэффициент $1/k$.
В правую кастрюлю свеклы всегда попадает меньше вдвое, чем в левую, т.е. в конечном итоге 2/3 всей свеклы будет в левой, а 1/3 в правой кастрюле.
Если записать уравнение теплового баланса для конечного состояния, то для левой кастрюли оно будет иметь вид:
$XT_{в} + \frac{2}{3}T_{с} = T_{л} \left ( X + \frac{2}{3} \right )$ или $T_{л} = 50^{ \circ} С$ а для правой: $XT_{в} + \frac{1}{3}T_{с} = T_{п} \left ( X + \frac{1}{3} \right )$ или $T_{п} \approx 54,3^{ \circ} С$.
Здесь $T_{л}$ и $T_{п}$ - конечные температуры воды слева и справа,
Таким образом, искомая величина разница составит примерно $4,3^{ \circ} С$.
