2016-09-17
Мальчик, управляя кордовой моделью самолёта массой $m$, перемещает конец кордов длиной $L$ в горизонтальной плоскости по окружности радиусом $r$. Самолёт летит по окружности радиусом $R > r$ на высоте $h$ над плоскостью движения руки с постоянной скоростью $v$. Центры обеих окружностей лежат на одной вертикали. Ось самолёта направлена горизонтально по касательной к его траектории, плоскость крыльев также горизонтальна. Определите подъёмную силу, действующую на модель.
Решение:
Изобразим на рисунке вид сверху на систему, описанную в условии задачи. Так как модель самолёта (точка А на рисунке) движется по окружности радиусом $R$ со скоростью $v$, она имеет центростремительное ускорение $a_{n} = \frac{v^{2}}{R}$, создаваемое нормальной составляющей силы натяжения кордов $T_{n} = ma_{n} = \frac{mv^{2}}{R}$. Тангенциальная составляющая силы натяжения частично компенсирует силу сопротивления движению самолёта и связана с нормальной составляющей соотношением $T_{ \tau} = T_{n} tg \alpha$, где $\alpha = \angle DAO$ — угол между радиусом $OA$ окружности, по которой движется самолёт, и проекцией $DA$ кордов $AB$ на плоскость этой окружности (точка $B$ находится на рисунке под точкой $D$).
Треугольник $ABD$ — прямоугольный, поэтому $AD = \sqrt{L^{2} - h^{2}}$. На основании теоремы косинусов длины сторон треугольника $ADO$ должны удовлетворять соотношению:
$r^{2} = R^{2} + L^{2} - h^{2} - 2R \sqrt{L^{2} - h^{2}} \cos \alpha$,
откуда $\cos \alpha = \frac{R^{2} + L^{2} - r^{2} - h^{2}}{2R \sqrt{ L^{2} - h^{2}}}$.
Из этих формул следует, что горизонтальная составляющая силы натяжения кордов
$T_{Г} = \sqrt{ T_{n}^{2} + T_{ \tau}^{2}} = 2mv^{2} \frac{ \sqrt{L^{2} - h^{2}}}{R^{2} + L^{2} - r^{2} - h^{2}}$.
Поскольку в вертикальном направлении самолёт не имеет ускорения (так как по условию он движется в горизонтальной плоскости), то проекция суммы всех действующих на самолёт сил, — силы тяжести $mg$, силы натяжения кордов $T$ и силы со стороны воздуха, — на вертикальное направление должна быть равна нулю. Силу, действующую на самолёт со стороны воздуха, можно разложить на две составляющие: горизонтальную, равную сумме силы сопротивления и силы тяги, направленную горизонтально по касательной к траектории, и вертикальную — подъёмную силу $F$:
$mg + T_{в} - F = 0$,
где $T_{в}$ — модуль вертикальной составляющей силы натяжения кордов, $F$ — модуль искомой подъёмной силы, $T_{в} = T_{Г} tg \beta$, где $\beta = \angle BAD$ — угол между кордами $AB$ и горизонтом, причём $tg \beta = \frac{h}{ \sqrt{L^{2} - h^{2}}}$.
В результате получаем, что подъёмная сила равна:
$F = m \left ( g + \frac{2v^{2}h}{R^{2} + L^{2} - r^{2} - h^{2}} \right )$.