2016-09-17
Маленькая шайба скользит по винтовому желобу с углом наклона $\alpha$ к горизонту и радиусом $R$ с постоянной скоростью $v$ (см. рисунок). Ось желоба вертикальна, ускорение свободного падения равно $g$. Чему равен коэффициент трения $\mu$ между шайбой и желобом?
Решение:
Введём неподвижную прямоугольную систему координат $XYZ$ (см. рис.). Её начало поместим в то место, где в данный момент времени находится шайба, ось $x$ направим горизонтально (перпендикулярно радиусу желоба в сторону движения шайбы), ось $Y$ — вверх, а ось $Z$ — в сторону оси желоба перпендикулярно к ней (на нашем рисунке ось $Z$ направлена «от нас»). Пусть масса шайбы равна $m$. Обозначим на рисунке действующие на шайбу силы. Сила тяжести $mg$ направлена вниз; сила реакции желоба $N$ направлена перпендикулярно к желобу, под некоторым углом к горизонту, и имеет проекции $N_{x}, N_{y}$ и $N_{z}$ на все три координатные оси; наконец, сила трения $F_{тр} = \mu N$ направлена по касательной к желобу в сторону, противоположную направлению скорости шайбы $v$. Запишем уравнение движения шайбы (второй закон Ньютона) в проекциях на координатные оси:
$N_{x} = \mu N \cos \alpha$;
$N_{y} + \mu N \sin \alpha = mg$;
$N_{z} = \frac{mv_{x}^{2}}{R} = \frac{mv^{2} \cos^{2} \alpha}{R}$.
Учтём также, что $N_{x} = N_{y} tg \alpha$, поскольку сила $N$ перпендикулярна желобу, и что
$N^{2} = N_{x}^{2} + N_{y}^{2} + N_{z}^{2}$.
Подставляя в последнее равенство выражения для $N_{x}$ и $N_{z}$, с учётом связи между $N_{x}$ и $N_{y}$ получаем уравнение, связывающее $N$ и $\mu$:
$N^{2} = N_{x}^{2} \left ( 1 + \frac{1}{ tg^{2} \alpha} \right ) + \left ( \frac{mv^{2} \cos^{2} \alpha}{R} \right )^{2} = \frac{ \mu^{2} N^{2} \cos^{2} \alpha}{ \sin^{2} \alpha} + \left ( \frac{mv^{2} \cos^{2} \alpha}{R} \right )^{2}$.
Далее заметим, что
$mg \sin \alpha = N_{y} \sin \alpha + \mu N \sin^{2} \alpha = \frac{ N_{x} \sin \alpha}{ tg \alpha} + \mu N \sin^{2} \alpha = \mu N \cos^{2} \alpha + \mu N \sin^{2} \alpha = \mu N$.
Следовательно, полученное уравнение можно переписать в следующем виде:
$\frac{m^{2}g^{2} \sin^{2} \alpha}{ \mu^{2}} = m^{2} g^{2} \cos^{2} \alpha + \frac{m^{2}v^{4} \cos^{4} \alpha}{R^{2}}$.
Отсюда для коэффициента трения окончательно имеем:
$\mu = \frac{mg \sin \alpha}{ \sqrt{ m^{2}g^{2} \cos^{2} \alpha + \frac{m^{2}v^{4} \cos^{4} \alpha}{R^{2}}}} = \frac{gR tg \alpha}{ \sqrt{g^{2}R^{2} + v^{4} \cos^{2} \alpha}}$.