2016-09-17
На тонкую вертикальную спицу надели кольцо радиусом $r$ и, толкнув его, закрутили вокруг спицы. При какой угловой скорости кольцо будет устойчиво вращаться, не падая вниз? Коэффициент трения между спицей и кольцом равен $\mu$.
Решение:
Сделаем чертёж и изобразим на нём все силы, действующие на кольцо (см. рис. ). Это сила тяжести $mg$, приложенная к центру кольца, а также силы трения $F_{тр}$ и нормального давления спицы на кольцо $N$, приложенные в точке касания кольца и спицы и направленные вверх и перпендикулярно спице соответственно. Кроме того, понятно, что для устойчивого вращения кольца оно должно быть наклонено под некоторым углом $\alpha$ к вертикали — так, чтобы сумма моментов сил $N$ и $F_{тр}$ относительно центра кольца была равна нулю, или, что то же самое, равнодействующая этих сил лежала в плоскости кольца.
Запишем уравнения движения. Для этого можно заменить кольцо материальной точкой массы $m$, расположенной в его центре. Из рисунка видно, что центр кольца движется по окружности радиусом $r \sin \alpha$, причём центростремительное ускорение обеспечивается силой $N$. В вертикальном же направлении кольцо удерживается силой трения $F_{тр}$. Уравнения имеют вид:
$N = m \omega^{2} r \sin \alpha; F_{тр} = mg;$
$F_{тр} \leq \mu N; N = F_{тр} tg \alpha$.
Решая их, получим условие для величины угловой скорости кольца, при которой оно будет устойчиво вращаться вокруг спицы:
$\omega \geq \sqrt{ \frac{g}{ \mu r} \sqrt{1 + \mu^{2}}}$.