Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9728
2018-10-28 
Две трубы квадратного сечения (20 см $\times$ 20 см и 40 см $\times$ 40 см) соединили и получившуюся длинную трубу положили на дно реки. Много одинаковых маленьких рыбок играют, проплывая вдоль этой трубы от одного до другого конца. Рыбки заплывают в трубу по очереди, всегда через один и тот же промежуток времени. Когда они заплывают со стороны широкого конца, то внутри широкой части трубы одновременно находится $N_{1} = 9$ рыбок, а внутри узкой - $N_{2} = 3$. А когда они заплывают в трубу с другого конца, то в широкой части одновременно находится $K_{1} = 13$ рыбок. Определите число $K_{2}$ рыбок, которые в это время находятся внутри узкой части трубы, если скорости рыбок относительно воды всегда одинаковы. Стрелка на рисунке показывает направление движения воды внутри трубы.
Решение:
Для удобства составления уравнений введем обозначения: $v$ - скорость рыбок относительно воды, $u_{1}$ - скорость воды в широкой части трубы, $u_{2}$ - скорость воды в узкой части трубы, $L_{1}$ - длина широкой части трубы, $L_{2}$ - длина узкой части трубы, $T$ - время, через которое рыбки заплывают в трубу, $S_{1}$ - площадь сечения трубы в широкой части, $S_{2}$ - площадь сечения трубы в узкой части ($S_{1}/S_{2} = 4$).
Из условия несжимаемости жидкости следует, что за любой промежуток времени $t$ объем жидкости, затекающей в трубу, равен объему жидкости, вытекающей с другого конца за тот же промежуток времени: $S_{1} u_{1}t = S_{2} u_{2} t$. Значит, скорости жидкости в разных частях трубы связаны соотношением $u_{2}/u_{1} = 4$.
Соотношение для числа рыбок в той или иной части трубы можно найти, определив расстояние между рыбками, т.е. путь, которая рыбка успевает преодолеть к моменту заплывания следующей. С учетом уже полученного соотношения между скоростями, получаем:
$N_{1} = \frac{L_{1}/T }{v + u_{1} }; N_{2} = \frac{L_{2}/T }{v + 4u_{1} }; K_{1} = \frac{L_{1}/T }{v - u_{1} }; K_{2} = \frac{L_{2}/T }{v - 4u_{1} }$;
Из условия задачи следует, что $\frac{N_{1} }{K_{1} } = \frac{v - u_{1} }{v + u_{1} } = \frac{9}{13}$.
Отсюда получаем, что $\frac{v}{u_{1} } = \frac{11}{2}$.
Аналогично получаем отношение $\frac{N_{2} }{K_{2} } = \frac{v - 4u_{1} }{v + 4u_{1} } = \frac{3}{19}$.
т.е. $K_{2} = 19$ рыбок.
Для справки - при таких данных задачи отношение длин равно $\frac{L_{1} }{L_{2} } = \frac{13}{5}$.
Две трубы квадратного сечения (20 см $\times$ 20 см и 40 см $\times$ 40 см) соединили и получившуюся длинную трубу положили на дно реки. Много одинаковых маленьких рыбок играют, проплывая вдоль этой трубы от одного до другого конца. Рыбки заплывают в трубу по очереди, всегда через один и тот же промежуток времени. Когда они заплывают со стороны широкого конца, то внутри широкой части трубы одновременно находится $N_{1} = 9$ рыбок, а внутри узкой - $N_{2} = 3$. А когда они заплывают в трубу с другого конца, то в широкой части одновременно находится $K_{1} = 13$ рыбок. Определите число $K_{2}$ рыбок, которые в это время находятся внутри узкой части трубы, если скорости рыбок относительно воды всегда одинаковы. Стрелка на рисунке показывает направление движения воды внутри трубы.
Решение:
Для удобства составления уравнений введем обозначения: $v$ - скорость рыбок относительно воды, $u_{1}$ - скорость воды в широкой части трубы, $u_{2}$ - скорость воды в узкой части трубы, $L_{1}$ - длина широкой части трубы, $L_{2}$ - длина узкой части трубы, $T$ - время, через которое рыбки заплывают в трубу, $S_{1}$ - площадь сечения трубы в широкой части, $S_{2}$ - площадь сечения трубы в узкой части ($S_{1}/S_{2} = 4$).
Из условия несжимаемости жидкости следует, что за любой промежуток времени $t$ объем жидкости, затекающей в трубу, равен объему жидкости, вытекающей с другого конца за тот же промежуток времени: $S_{1} u_{1}t = S_{2} u_{2} t$. Значит, скорости жидкости в разных частях трубы связаны соотношением $u_{2}/u_{1} = 4$.
Соотношение для числа рыбок в той или иной части трубы можно найти, определив расстояние между рыбками, т.е. путь, которая рыбка успевает преодолеть к моменту заплывания следующей. С учетом уже полученного соотношения между скоростями, получаем:
$N_{1} = \frac{L_{1}/T }{v + u_{1} }; N_{2} = \frac{L_{2}/T }{v + 4u_{1} }; K_{1} = \frac{L_{1}/T }{v - u_{1} }; K_{2} = \frac{L_{2}/T }{v - 4u_{1} }$;
Из условия задачи следует, что $\frac{N_{1} }{K_{1} } = \frac{v - u_{1} }{v + u_{1} } = \frac{9}{13}$.
Отсюда получаем, что $\frac{v}{u_{1} } = \frac{11}{2}$.
Аналогично получаем отношение $\frac{N_{2} }{K_{2} } = \frac{v - 4u_{1} }{v + 4u_{1} } = \frac{3}{19}$.
т.е. $K_{2} = 19$ рыбок.
Для справки - при таких данных задачи отношение длин равно $\frac{L_{1} }{L_{2} } = \frac{13}{5}$.
