2016-09-17
На гладком горизонтальном столе лежит вытянутая вдоль плоскости стола невесомая и нерастяжимая нить длиной $L$, к одному из концов которой прикреплено небольшое тело массой $m$. Тело в начальный момент неподвижно. Второй конец нити начинают поднимать вертикально вверх с постоянной скоростью. Тело перестаёт давить на поверхность стола в тот момент, когда нить составляет с вертикалью угол а. Какова скорость у подъёма конца нити?
Решение:
В момент отрыва тела от стола на него со стороны стола не действуют никакие силы, а ускорение в вертикальном направлении равно нулю. Следовательно, в этот момент вертикальная составляющая силы натяжения нити равна $mg$, где $m$ — масса тела. Таким образом, величина силы натяжения нити равна $T = mg/ \cos \alpha$.
Перейдём в систему отсчёта, движущуюся вверх с искомой скоростью $v$. В этой системе отсчёта тело движется по окружности, так как точка, за которую тянут нить, покоится. Скорость и тела в этой системе отсчёта перпендикулярна нити (см. рис.) и равна $u = v/ \sin \alpha$, а сумма проекций сил на направление нити равна произведению массы тела на центростремительное ускорение:
$T - mg \cos \alpha = \frac{mu^{2}}{L}$.
Отсюда с учётом выражений для $T$ и $u$ находим скорость $v$ подъёма конца нити:
$v = \sin^{2} \alpha \sqrt{ \frac{gL}{ \cos \alpha}}$.