Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9717
2018-10-25 
Капли воды разбрызгивателя летят во все стороны с одинаковой скоростью $v$. Насколько нужно поднять разбрызгиватель с уровня земли, чтобы увеличить площадь полива вдвое при прежней скорости вылета? Ускорение свободного падения $g$, влиянием воздуха пренебречь.
Решение:
Вектор перемещения капли за время полёта $t$ $L = \frac{gt^{2}}{2} + vt$, $g$ ускорение падения, $v$ начальная скорость. Рис. отвечает ситуации, когда у $v$ положительная проекция на вертикаль, тогда $\frac{gt^{2}}{2} = H + x$, где $x$ проекция $vt$ на вертикаль, а $H$ высота разбрызгивателя над землёй. Отрицательной проекции отвечает отрицательное $x$. Расстояние $r$, пройденное по горизонтали, выразим через теорему Пифагора: $r^{2} = (vt)^{2} - x^{2}$. Выразим время через $x: t^{2} = \frac{2(H + x)}{g}$. Тогда $r^{2} = 2v^{2} \frac{H + x}{g} - x^{2}$. Площадь полива определяется максимальным значением $r^{2}$, которое выражено квадратным трёхчленом по $x$. Приведением к полному квадрату, использованием симметрии параболы, с помощью ли производной можно найти максимальное значение: $r_{max}^{2} = \frac{2v^{2} H}{g} + \frac{v^{4}}{g}$. Если получить выражение $r^{2}$ через $t$, то это будет квадратный полиномом от $t^{2}$ с аналогичным исследованием на максимум. Исходная площадь $S$ отвечает $r_{0} = \frac{v^{2}}{g} (H = 0)$. Удвоение площади $r^{2} = 2r_{0}^{2}$ даёт решение для $H = \frac{v^{2}}{2g}$.
Капли воды разбрызгивателя летят во все стороны с одинаковой скоростью $v$. Насколько нужно поднять разбрызгиватель с уровня земли, чтобы увеличить площадь полива вдвое при прежней скорости вылета? Ускорение свободного падения $g$, влиянием воздуха пренебречь.
Решение:
Вектор перемещения капли за время полёта $t$ $L = \frac{gt^{2}}{2} + vt$, $g$ ускорение падения, $v$ начальная скорость. Рис. отвечает ситуации, когда у $v$ положительная проекция на вертикаль, тогда $\frac{gt^{2}}{2} = H + x$, где $x$ проекция $vt$ на вертикаль, а $H$ высота разбрызгивателя над землёй. Отрицательной проекции отвечает отрицательное $x$. Расстояние $r$, пройденное по горизонтали, выразим через теорему Пифагора: $r^{2} = (vt)^{2} - x^{2}$. Выразим время через $x: t^{2} = \frac{2(H + x)}{g}$. Тогда $r^{2} = 2v^{2} \frac{H + x}{g} - x^{2}$. Площадь полива определяется максимальным значением $r^{2}$, которое выражено квадратным трёхчленом по $x$. Приведением к полному квадрату, использованием симметрии параболы, с помощью ли производной можно найти максимальное значение: $r_{max}^{2} = \frac{2v^{2} H}{g} + \frac{v^{4}}{g}$. Если получить выражение $r^{2}$ через $t$, то это будет квадратный полиномом от $t^{2}$ с аналогичным исследованием на максимум. Исходная площадь $S$ отвечает $r_{0} = \frac{v^{2}}{g} (H = 0)$. Удвоение площади $r^{2} = 2r_{0}^{2}$ даёт решение для $H = \frac{v^{2}}{2g}$.
