Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 971
2016-09-17 
Велосипедное колесо радиусом $R = 50 см$ немного деформировали — оно осталось плоским, но превратилось в эллипс с разностью полуосей $\delta = a - b = 1 см$. При какой скорости качения этого колеса по горизонтальной поверхности оно начнёт подпрыгивать?
Примечание. Эллипс получается при равномерном растяжении (сжатии) окружности вдоль одной из координат. При этом уравнение окружности $\frac{x^{2}}{R^{2}} + \frac{y^{2}}{R^{2}} = 1$ переходит в уравнение эллипса $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$.
Решение:
По условию эллиптическое колесо мало отличается от круглого: $\delta = a — b = 1 см \ll R = (a + b)/2 \approx 50 см$, поэтому можно пренебречь неравномерностью вращения колеса и считать, что при качении его скорость $v \approx \omega R$, а зависимость вертикальной координаты $y$ центра масс колеса от времени $t$ имеет вид: $y = \frac{ \delta}{2} \cos 2 \omega t$. Здесь учтено, что за один оборот колеса $y$ дважды проходит через максимум, и начало отсчёта координаты $y$ помещено на высоте $R$ над дорогой. Колесо начнёт подпрыгивать тогда, когда при качении максимальная величина проекции ускорения его центра масс на вертикаль превысит ускорение свободного падения. Поскольку проекция ускорения $a_{y}$ — это вторая производная от соответствующей координаты, то $a_{y} = y^{ \prime \prime} = — \delta \omega^{2} \cos 2 \omega t$, и $|(a_{y})_{max}| = 2 \delta \omega^{2} > g$. Отсюда угловая скорость колеса $\omega > \sqrt{ \frac{g}{2 \delta}}$, и искомая скорость его качения $v > R \sqrt{ \frac{g}{2 \delta}} \approx 11 м/с$.
Велосипедное колесо радиусом $R = 50 см$ немного деформировали — оно осталось плоским, но превратилось в эллипс с разностью полуосей $\delta = a - b = 1 см$. При какой скорости качения этого колеса по горизонтальной поверхности оно начнёт подпрыгивать?
Примечание. Эллипс получается при равномерном растяжении (сжатии) окружности вдоль одной из координат. При этом уравнение окружности $\frac{x^{2}}{R^{2}} + \frac{y^{2}}{R^{2}} = 1$ переходит в уравнение эллипса $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$.
Решение:
По условию эллиптическое колесо мало отличается от круглого: $\delta = a — b = 1 см \ll R = (a + b)/2 \approx 50 см$, поэтому можно пренебречь неравномерностью вращения колеса и считать, что при качении его скорость $v \approx \omega R$, а зависимость вертикальной координаты $y$ центра масс колеса от времени $t$ имеет вид: $y = \frac{ \delta}{2} \cos 2 \omega t$. Здесь учтено, что за один оборот колеса $y$ дважды проходит через максимум, и начало отсчёта координаты $y$ помещено на высоте $R$ над дорогой. Колесо начнёт подпрыгивать тогда, когда при качении максимальная величина проекции ускорения его центра масс на вертикаль превысит ускорение свободного падения. Поскольку проекция ускорения $a_{y}$ — это вторая производная от соответствующей координаты, то $a_{y} = y^{ \prime \prime} = — \delta \omega^{2} \cos 2 \omega t$, и $|(a_{y})_{max}| = 2 \delta \omega^{2} > g$. Отсюда угловая скорость колеса $\omega > \sqrt{ \frac{g}{2 \delta}}$, и искомая скорость его качения $v > R \sqrt{ \frac{g}{2 \delta}} \approx 11 м/с$.
