Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9700
2018-10-25 
На горизонтальную пластину насыпано немного мелкого песка. Пластина совершает гармонические колебания в вертикальном направлении с частотой $f = 1000 Гц$. При этом песчинки подпрыгивают на высоту $H = 5 мм$ относительно среднего положения пластины. Считая удары песчинок о пластину абсолютно неупругими, найти амплитуду колебаний пластины $A$. Ускорение свободного падения $g = 9,8 м/с^{2}$.
Решение:
Направим координатную ось x вертикально вверх и положим $x = 0$ в среднем положении пластины.
Зависимость вертикальной координаты пластины от времени описывается законом:
$x = A \sin( \omega t)$,
где $\omega = 2 \pi f$ - циклическая частота колебаний.
Зависимость проекции скорости пластины на ось x от времени описывается выражением:
$V_{x} = A \omega \cos \omega t$.
Зависимость проекции ускорения пластины на ось x от времени описывается выражением:
$a_{x} = - A \omega^{2} \sin \omega t$.
Песчинки отрываются от пластины и подпрыгивают при движении пластины снизу вверх. Обозначим координату пластины в момент отрыва песчинки через $h$.
В момент отрыва от пластины песчинки сила, с которой песчинка давит на пластину, становится равной нулю. Поэтому ускорение песчинки в этот момент равно ускорению свободного падения $g$:
$a_{x} = - A \omega^{2} \sin \omega t_{0} = - g$. (1)
Уравнение (1) определяет момент $t_{0}$ отрыва песчинки от пластины. Из него удобно выразить величину $\sin \omega t$:
$\sin \omega t_{0} = \frac{g}{A \omega^{2}}$.
Координата пластины и песчинки в момент ее отрыва равна (с учетом полученного выражения для $\sin \omega t_{0}$):
$h = A \sin \omega t_{0} = \frac{g}{ \omega^{2}}$.
Скорость пластины и песчинки в момент ее отрыва, которую обозначим через $V_{x0}$, равна:
$V_{x0} = A \omega \cos \omega t_{0}$.
Запишем закон сохранения энергии песчинки для моментов ее отрыва и пребывания в высшей точке траектории на высоте $H$ ($m$ - масса песчинки):
$mgh + \frac{mV_{x0}^{2} }{2} = mgH.$ (2)
Преобразуем это уравнение с учетом ранее полученных выражений для $h$ и $V_{x0}$:
$\frac{g}{ \omega^{2} } + \frac{ A^{2} \omega^{2} \cos^{2} \omega t_{0}}{2g} = H$,
$\frac{g}{ \omega^{2} } + \frac{ A^{2} \omega^{2} (1 - \sin^{2} \omega t_{0}) }{2g} = H$,
$\frac{g}{ \omega^{2} } + A^{2} \omega^{2} \frac{ 1 - \frac{g^{2} }{A^{2} \omega^{4} } }{2g} = H$,
$\frac{g}{ 2 \omega^{2} } + \frac{A^{2} \omega^{2} }{2g} = H$.
Отсюда найдем искомую амплитуду колебаний пластины $A$:
$A = \sqrt{ \frac{2gH}{ \omega^{2} } - \frac{g^{2} }{ \omega^{4} } } = \sqrt{ \frac{2gH}{(2 \pi f)^{2} } - \frac{g^{2} }{(2 \pi f )^{4} } } \approx 5 \cdot 10^{ -5} м$.
На горизонтальную пластину насыпано немного мелкого песка. Пластина совершает гармонические колебания в вертикальном направлении с частотой $f = 1000 Гц$. При этом песчинки подпрыгивают на высоту $H = 5 мм$ относительно среднего положения пластины. Считая удары песчинок о пластину абсолютно неупругими, найти амплитуду колебаний пластины $A$. Ускорение свободного падения $g = 9,8 м/с^{2}$.
Решение:
Направим координатную ось x вертикально вверх и положим $x = 0$ в среднем положении пластины.
Зависимость вертикальной координаты пластины от времени описывается законом:
$x = A \sin( \omega t)$,
где $\omega = 2 \pi f$ - циклическая частота колебаний.
Зависимость проекции скорости пластины на ось x от времени описывается выражением:
$V_{x} = A \omega \cos \omega t$.
Зависимость проекции ускорения пластины на ось x от времени описывается выражением:
$a_{x} = - A \omega^{2} \sin \omega t$.
Песчинки отрываются от пластины и подпрыгивают при движении пластины снизу вверх. Обозначим координату пластины в момент отрыва песчинки через $h$.
В момент отрыва от пластины песчинки сила, с которой песчинка давит на пластину, становится равной нулю. Поэтому ускорение песчинки в этот момент равно ускорению свободного падения $g$:
$a_{x} = - A \omega^{2} \sin \omega t_{0} = - g$. (1)
Уравнение (1) определяет момент $t_{0}$ отрыва песчинки от пластины. Из него удобно выразить величину $\sin \omega t$:
$\sin \omega t_{0} = \frac{g}{A \omega^{2}}$.
Координата пластины и песчинки в момент ее отрыва равна (с учетом полученного выражения для $\sin \omega t_{0}$):
$h = A \sin \omega t_{0} = \frac{g}{ \omega^{2}}$.
Скорость пластины и песчинки в момент ее отрыва, которую обозначим через $V_{x0}$, равна:
$V_{x0} = A \omega \cos \omega t_{0}$.
Запишем закон сохранения энергии песчинки для моментов ее отрыва и пребывания в высшей точке траектории на высоте $H$ ($m$ - масса песчинки):
$mgh + \frac{mV_{x0}^{2} }{2} = mgH.$ (2)
Преобразуем это уравнение с учетом ранее полученных выражений для $h$ и $V_{x0}$:
$\frac{g}{ \omega^{2} } + \frac{ A^{2} \omega^{2} \cos^{2} \omega t_{0}}{2g} = H$,
$\frac{g}{ \omega^{2} } + \frac{ A^{2} \omega^{2} (1 - \sin^{2} \omega t_{0}) }{2g} = H$,
$\frac{g}{ \omega^{2} } + A^{2} \omega^{2} \frac{ 1 - \frac{g^{2} }{A^{2} \omega^{4} } }{2g} = H$,
$\frac{g}{ 2 \omega^{2} } + \frac{A^{2} \omega^{2} }{2g} = H$.
Отсюда найдем искомую амплитуду колебаний пластины $A$:
$A = \sqrt{ \frac{2gH}{ \omega^{2} } - \frac{g^{2} }{ \omega^{4} } } = \sqrt{ \frac{2gH}{(2 \pi f)^{2} } - \frac{g^{2} }{(2 \pi f )^{4} } } \approx 5 \cdot 10^{ -5} м$.
