Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 970
2016-09-17 
Лёгкая шероховатая планка ВС шарнирно подвешена на параллельных невесомых стержнях АВ и СD (см. рисунок). Длина стержней $L$. На расстоянии $h$ от нижнего конца одного из стержней прикреплён груз массой $M$. На планке лежит лёгкая шайба. Система свободно колеблется в плоскости рисунка. При каком минимальном угле отклонения стержней от вертикали $\alpha$ шайба начнёт подпрыгивать на планке? Трением в шарнирах пренебречь.
Решение:
Поскольку все части системы, кроме груза массой $M$, лёгкие, то можно считать, что груз совершает свободные колебания на невесомом подвесе длиной $L — h$. При этом на него действуют сила тяжести $Mg$, направленная вниз, и сила натяжения стержня $T$, направленная вдоль стержня (см. рис.).
Уравнения вращательного движения груза на подвесе в проекциях на радиальное и тангенциальное направления имеют вид:$Ma_{цс} = T — Mg \cos \alpha$ и $Ma_{т} = Mg \sin \alpha$. Здесь $a_{цс}$ — центростремительное, $a_{т}$ — тангенциальное ускорение груза, $\alpha$ — угол отклонения стержней от вертикали. Ясно, что шайба, лежащая на шероховатой планке, колеблется так же, как нижние концы стержней, расположенные на расстоянии $L$ от точек подвеса, и имеет проекции ускорения на те же направления, в $L/(L — h)$ раз большие, чем груз: $a_{цс}^{ш} = a_{цс}/(L — h)$ и $a_{т}^{ш} = a_{т}L/(L — h) = g \sin \alpha \cdot L/(L — h)$. Уравнение движения шайбы в проекции на вертикальную ось имеет вид: $N — mg = m ( a_{цс}^{ш} \cos \alpha — a_{т}^{ш} \sin \alpha)$, где $m$ — масса шайбы, $N$ — сила реакции со стороны планки. Шайба начинает подпрыгивать на планке при $N = 0$, то есть когда $g \left ( \sin^{2} \alpha \cdot \frac{L}{L-h} - 1 \right ) = a_{цс}^{ш} \cos \alpha$. Раньше всего отрыв шайбы от планки будет происходить в моменты максимального отклонения, когда скорость шайбы и её центростремительное ускорение $a_{цс}^{ш} = 0$, откуда искомое значение минимального угла $\alpha_{min}$ соответствует $\sin \alpha_{min} = \sqrt{1 - (h/L)}$.
Лёгкая шероховатая планка ВС шарнирно подвешена на параллельных невесомых стержнях АВ и СD (см. рисунок). Длина стержней $L$. На расстоянии $h$ от нижнего конца одного из стержней прикреплён груз массой $M$. На планке лежит лёгкая шайба. Система свободно колеблется в плоскости рисунка. При каком минимальном угле отклонения стержней от вертикали $\alpha$ шайба начнёт подпрыгивать на планке? Трением в шарнирах пренебречь.
Решение:
Поскольку все части системы, кроме груза массой $M$, лёгкие, то можно считать, что груз совершает свободные колебания на невесомом подвесе длиной $L — h$. При этом на него действуют сила тяжести $Mg$, направленная вниз, и сила натяжения стержня $T$, направленная вдоль стержня (см. рис.).
Уравнения вращательного движения груза на подвесе в проекциях на радиальное и тангенциальное направления имеют вид:$Ma_{цс} = T — Mg \cos \alpha$ и $Ma_{т} = Mg \sin \alpha$. Здесь $a_{цс}$ — центростремительное, $a_{т}$ — тангенциальное ускорение груза, $\alpha$ — угол отклонения стержней от вертикали. Ясно, что шайба, лежащая на шероховатой планке, колеблется так же, как нижние концы стержней, расположенные на расстоянии $L$ от точек подвеса, и имеет проекции ускорения на те же направления, в $L/(L — h)$ раз большие, чем груз: $a_{цс}^{ш} = a_{цс}/(L — h)$ и $a_{т}^{ш} = a_{т}L/(L — h) = g \sin \alpha \cdot L/(L — h)$. Уравнение движения шайбы в проекции на вертикальную ось имеет вид: $N — mg = m ( a_{цс}^{ш} \cos \alpha — a_{т}^{ш} \sin \alpha)$, где $m$ — масса шайбы, $N$ — сила реакции со стороны планки. Шайба начинает подпрыгивать на планке при $N = 0$, то есть когда $g \left ( \sin^{2} \alpha \cdot \frac{L}{L-h} - 1 \right ) = a_{цс}^{ш} \cos \alpha$. Раньше всего отрыв шайбы от планки будет происходить в моменты максимального отклонения, когда скорость шайбы и её центростремительное ускорение $a_{цс}^{ш} = 0$, откуда искомое значение минимального угла $\alpha_{min}$ соответствует $\sin \alpha_{min} = \sqrt{1 - (h/L)}$.
