Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9696
2018-10-25 
Из ионной пушки А, находящейся на расстоянии $h = 4 см$ от круглого экрана Э радиуса $r = 2 см$, со скоростью v вылетают заряженные частицы (ионы) и попадают точно в его центр (рис.). Между пушкой и экраном создают однородное электрическое поле, направленное вдоль поверхности экрана. Если значение напряжённости поля превышает величину $E_{0} = 10 В/м$, ионы на экран не попадают. Затем электрическое поле меняют на направленное таким же образом магнитное. В этом случае частицы перестают попадать на экран при значении индукции $B_{0} = 8 мТл$. Найти скорость $v$.
Решение:
Рассмотрим первую ситуацию, когда вдоль поверхности экрана приложено однородное электрическое поле $E_{0}$. В этом случае проекция скорости иона на ось, перпендикулярную экрану, остаётся постоянной и равной начальной скорости $v$. Проекция скорости на ось, направленную параллельно вектору напряжённости электрического поля, меняется со временем линейно. Пусть заряженная частица достигает экрана за время $t$. Тогда
$h = vt, r = \frac{qEt^{2} }{2m}$,
где $q$ абсолютная величина заряда, а $m$ - масса иона. Отсюда, выразив $t$, найдём, что
$\frac{q}{m} = \frac{2rv^{2} }{E_{0}h^{2} }$.
Во втором случае ион под действием однородного магнитного поля $B_{0}$ движется с постоянной по модулю скоростью вдоль дуги окружности с центром в точке О (см. рис.; для определённости заряд иона взят положительным). Радиус этой окружности можно найти, приравняв центростремительное ускорение отношению величины силы Лоренца к массе иона
$a_{ц.с.} = \frac{F_{л} }{m} \Rightarrow \frac{v^{2} }{R} = \frac{qvB_{0} }{m} \Rightarrow R = \frac{mv}{qB_{0} }$
С другой стороны, по теореме Пифагора
$(R - r)^{2} + h^{2} = R^{2} \Rightarrow R^{2} - 2Rr + r^{2} + h^{2} = R^{2} \Rightarrow R = \frac{r^{2} + h^{2} }{2r}$.
Отсюда получаем, что
$\frac{mv}{qB_{0} } = \frac{r^{2} + h^{2} }{2r} \Rightarrow \frac{q}{m} = \frac{2rv}{B_{0} (r^{2} + h^{2} ) }$.
Наконец, приравнивая правые части найденных уравнений, находим выражение для скорости $v$:
$\frac{2rv^{2} }{E_{0}h^{2} } = \frac{2rv}{B_{0} (r^{2} + h^{2} ) } \Rightarrow v = \frac{E_{0} h^{2} }{B_{0} (r^{2} + h^{2} ) } = 1000 м/с$.
Из ионной пушки А, находящейся на расстоянии $h = 4 см$ от круглого экрана Э радиуса $r = 2 см$, со скоростью v вылетают заряженные частицы (ионы) и попадают точно в его центр (рис.). Между пушкой и экраном создают однородное электрическое поле, направленное вдоль поверхности экрана. Если значение напряжённости поля превышает величину $E_{0} = 10 В/м$, ионы на экран не попадают. Затем электрическое поле меняют на направленное таким же образом магнитное. В этом случае частицы перестают попадать на экран при значении индукции $B_{0} = 8 мТл$. Найти скорость $v$.
Решение:
Рассмотрим первую ситуацию, когда вдоль поверхности экрана приложено однородное электрическое поле $E_{0}$. В этом случае проекция скорости иона на ось, перпендикулярную экрану, остаётся постоянной и равной начальной скорости $v$. Проекция скорости на ось, направленную параллельно вектору напряжённости электрического поля, меняется со временем линейно. Пусть заряженная частица достигает экрана за время $t$. Тогда
$h = vt, r = \frac{qEt^{2} }{2m}$,
где $q$ абсолютная величина заряда, а $m$ - масса иона. Отсюда, выразив $t$, найдём, что
$\frac{q}{m} = \frac{2rv^{2} }{E_{0}h^{2} }$.
Во втором случае ион под действием однородного магнитного поля $B_{0}$ движется с постоянной по модулю скоростью вдоль дуги окружности с центром в точке О (см. рис.; для определённости заряд иона взят положительным). Радиус этой окружности можно найти, приравняв центростремительное ускорение отношению величины силы Лоренца к массе иона
$a_{ц.с.} = \frac{F_{л} }{m} \Rightarrow \frac{v^{2} }{R} = \frac{qvB_{0} }{m} \Rightarrow R = \frac{mv}{qB_{0} }$
С другой стороны, по теореме Пифагора
$(R - r)^{2} + h^{2} = R^{2} \Rightarrow R^{2} - 2Rr + r^{2} + h^{2} = R^{2} \Rightarrow R = \frac{r^{2} + h^{2} }{2r}$.
Отсюда получаем, что
$\frac{mv}{qB_{0} } = \frac{r^{2} + h^{2} }{2r} \Rightarrow \frac{q}{m} = \frac{2rv}{B_{0} (r^{2} + h^{2} ) }$.
Наконец, приравнивая правые части найденных уравнений, находим выражение для скорости $v$:
$\frac{2rv^{2} }{E_{0}h^{2} } = \frac{2rv}{B_{0} (r^{2} + h^{2} ) } \Rightarrow v = \frac{E_{0} h^{2} }{B_{0} (r^{2} + h^{2} ) } = 1000 м/с$.
