Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9695
2018-10-25 
На рис. представлена цепь, состоящая из двух конденсаторов ёмкостью $C$ и $2C$, идеального источника с ЭДС $\mathcal{E}$, резистора и ключа. Какой заряд $q$ протечёт через гальванометр Г после замыкания ключа? Какое количество теплоты выделится при этом на сопротивлении?
Решение:
Рассмотрим случай, когда ключ разомкнут. В этом случае конденсаторы соединены последовательно, и их общая ёмкость равна $C_{общ} = frac{C_{1}C_{2}}{C_{1} + C_{2}} = \frac{2C}{3}$, где $C_{1} = C, C_{2} = 2C$. Заряд на каждом конденсаторе составляет
$q_{1} = q_{2} = C_{общ} \mathcal{E} = \frac{2C \mathcal{E} }{3}$.
Если ключ замкнут, то в стационарном состоянии (когда токи в цепи не текут) напряжение на конденсаторе ёмкостью $C$ равно нулю. Соответственно, заряд на нём $q_{1}^{ \prime} = 0$. Напряжение на оставшемся конденсаторе равно $\mathcal{E}$, следовательно, $q_{2}^{ \prime} = 2C \mathcal{E}$.
Отсюда получаем, что на правую обкладку второго конденсатора добавился заряд $\Delta q_{2} = q_{2}^{ \prime} - q_{2} = 4C \mathcal{E}/3$, в то время как на верхнюю обкладку первого конденсатора — заряд $\Delta q_{1} = q_{1} = \frac{2C \mathcal{E} }{3}$ (см. рис.). Следовательно, за время, прошедшее после замыкания ключа, в цепи гальванометра протёк заряд
$q_{Г} = \Delta q_{1} + \Delta q_{2} = q_{2}^{ \prime} - q_{2} + q_{1} = 2C \mathcal{E}$.
В то же время, через источник прошёл заряд $\Delta q_{2}$, поэтому работа источника по перемещению заряда равна
$A_{ист} = \Delta q_{2} \mathcal{E} = \frac{4C \mathcal{E}^{2} }{3} $.
Работа источника тратится на изменение энергии конденсаторов и теплоту, выделяющуюся на резисторе:
$A_{ист} = \Delta E_{конд} + Q$.
Начальная энергия конденсаторов равна
$E_{конд} = \frac{C_{общ} \mathcal{E}^{2}}{2} = \frac{C \mathcal{E}^{2} }{3}$,
конечная - $E_{конд}^{ \prime} = \frac{2C \mathcal{E}^{2} }{2} = C \mathcal{E}^{2}$. Отсюда получаем, что
$\frac{4C \mathcal{E}^{2}}{3} = C \mathcal{E}^{2} - \frac{C \mathcal{E}^{2} }{3} + Q \Rightarrow Q = \frac{2C \mathcal{E}^{2} }{3}$.
На рис. представлена цепь, состоящая из двух конденсаторов ёмкостью $C$ и $2C$, идеального источника с ЭДС $\mathcal{E}$, резистора и ключа. Какой заряд $q$ протечёт через гальванометр Г после замыкания ключа? Какое количество теплоты выделится при этом на сопротивлении?
Решение:
Рассмотрим случай, когда ключ разомкнут. В этом случае конденсаторы соединены последовательно, и их общая ёмкость равна $C_{общ} = frac{C_{1}C_{2}}{C_{1} + C_{2}} = \frac{2C}{3}$, где $C_{1} = C, C_{2} = 2C$. Заряд на каждом конденсаторе составляет
$q_{1} = q_{2} = C_{общ} \mathcal{E} = \frac{2C \mathcal{E} }{3}$.
Если ключ замкнут, то в стационарном состоянии (когда токи в цепи не текут) напряжение на конденсаторе ёмкостью $C$ равно нулю. Соответственно, заряд на нём $q_{1}^{ \prime} = 0$. Напряжение на оставшемся конденсаторе равно $\mathcal{E}$, следовательно, $q_{2}^{ \prime} = 2C \mathcal{E}$.
Отсюда получаем, что на правую обкладку второго конденсатора добавился заряд $\Delta q_{2} = q_{2}^{ \prime} - q_{2} = 4C \mathcal{E}/3$, в то время как на верхнюю обкладку первого конденсатора — заряд $\Delta q_{1} = q_{1} = \frac{2C \mathcal{E} }{3}$ (см. рис.). Следовательно, за время, прошедшее после замыкания ключа, в цепи гальванометра протёк заряд
$q_{Г} = \Delta q_{1} + \Delta q_{2} = q_{2}^{ \prime} - q_{2} + q_{1} = 2C \mathcal{E}$.
В то же время, через источник прошёл заряд $\Delta q_{2}$, поэтому работа источника по перемещению заряда равна
$A_{ист} = \Delta q_{2} \mathcal{E} = \frac{4C \mathcal{E}^{2} }{3} $.
Работа источника тратится на изменение энергии конденсаторов и теплоту, выделяющуюся на резисторе:
$A_{ист} = \Delta E_{конд} + Q$.
Начальная энергия конденсаторов равна
$E_{конд} = \frac{C_{общ} \mathcal{E}^{2}}{2} = \frac{C \mathcal{E}^{2} }{3}$,
конечная - $E_{конд}^{ \prime} = \frac{2C \mathcal{E}^{2} }{2} = C \mathcal{E}^{2}$. Отсюда получаем, что
$\frac{4C \mathcal{E}^{2}}{3} = C \mathcal{E}^{2} - \frac{C \mathcal{E}^{2} }{3} + Q \Rightarrow Q = \frac{2C \mathcal{E}^{2} }{3}$.
