Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9694
2018-10-25 
Вдоль одной прямой удерживаются три положительных электрических заряда, два из которых скреплены между собой невесомой нитью длины $L$ (рис.). Величины зарядов, их массы и расстояния между ними указаны на рисунке. Систему отпускают. С какими ускорениями начнут разлетаться заряды? Какие скорости они приобретут после разлёта на большое расстояние? Нить считать непроводящей и нерастяжимой.
Решение:
Пронумеруем заряды так, как показано на рис. Так как второй и третий заряды соединены нитью, их ускорения могут быть направлены только в одну сторону, а поскольку все заряды одноимённые, то под действием электрических
сил они будут разлетаться в разные стороны. Пусть первый заряд начинает двигаться с ускорением $a_{1}$, направленным влево, а второй и третий заряды с ускорениями $a_{2}$ и $a_{3}$, направленными, соответственно, вправо. Запишем 2-й закон Ньютона для каждого заряда ($T$ - сила натяжения нити, постоянная $k$ в системе СИ равна $1/(4 \pi \epsilon_{0} )$):
$2ma_{1} = F_{1} = \frac{kq^{2} }{L^{2} } + \frac{2kq^{2} }{(2L)^{2} } = \frac{2kq^{2} }{2L^{2} }$,
$ma_{2} = T - F_{2} = T + \frac{kq^{2} }{L^{2} } - \frac{2kq^{2} }{L^{2} } = T - \frac{kq^{2} }{L^{2} }$,
$ma_{3} = F_{3} - T = - Т + \frac{2kq^{2} }{ L^{2} } + \frac{2kq^{2} }{ (2L)^{2} } = \frac{5kq^{2} }{2L^{2} } - T$.
Из первого равенства следует, что
$a_{1} = \frac{3kq^{2} }{4L^{2} }$.
Проанализируем два оставшихся равенства. Так как $a_{2}$ неотрицательно, то $T > 0$, т.е. нить является натянутой. Следовательно, ускорения второго и третьего заряда в начальный момент равны $a_{2} = a_{3}$. Отсюда, складывая оставшиеся равенства, получаем, что
$2ma_{2} = \frac{3kq^{2} }{2L^{2} } \Rightarrow a_{2} = a_{3} = \frac{3kq^{2} }{4L^{2} }$.
Заметим, что в дальнейшем действие первого заряда ослабевает, поэтому нить во время всего движения зарядов остаётся натянутой из-за взаимного отталкивания второго и третьего заряда. Это значит, что в любой момент времени их скорости и ускорения совпадают.
Для нахождения скоростей зарядов на бесконечности, запишем выражения для потенциально и кинетической энергии системы из трёх зарядов в начальный момент:
$E_{к1} = 0, E_{п1} = \frac{kq^{2} }{L} + \frac{2kq^{2} }{L} + \frac{2kq^{2} }{2L} = \frac{4kq^{2} }{L}$
и на бесконечности:
$E_{к2} = \frac{2mv_{1}^{2} }{2} + \frac{mv_{2}^{2} }{2} + \frac{mv_{3}^{2} }{2} = \frac{2mv_{1}^{2} }{2} + 2 \frac{mv_{2}^{2} }{2}, E_{п2} = \frac{2kq^{2} }{L}$.
Потенциальная энергия $E_{п2}$ не равна нулю, так как второй и третий заряды всегда находятся на расстоянии $L$. По закону сохранения энергии, получаем
$\frac{2mv_{1}^{2} }{2} + 2 \frac{mv_{2}^{2}}{2} + \frac{2kq^{2}}{L} = \frac{4kq^{2}}{L} \Rightarrow v_{1}^{2} + v_{2}^{2} = \frac{2kq^{2} }{mL}$.
С другой стороны, по закону сохранения импульса:
$0 = - 2mv_{1} + mv_{2} + mv_{3} \Rightarrow 0 = - 2mv_{1} + 2mv_{2} \Rightarrow v_{2} = v_{1}$.
Отсюда получаем, что
$v_{1} = v_{2} = v_{2} = \sqrt{ \frac{kq^{2} }{mL} }$.
Вдоль одной прямой удерживаются три положительных электрических заряда, два из которых скреплены между собой невесомой нитью длины $L$ (рис.). Величины зарядов, их массы и расстояния между ними указаны на рисунке. Систему отпускают. С какими ускорениями начнут разлетаться заряды? Какие скорости они приобретут после разлёта на большое расстояние? Нить считать непроводящей и нерастяжимой.
Решение:
Пронумеруем заряды так, как показано на рис. Так как второй и третий заряды соединены нитью, их ускорения могут быть направлены только в одну сторону, а поскольку все заряды одноимённые, то под действием электрических
сил они будут разлетаться в разные стороны. Пусть первый заряд начинает двигаться с ускорением $a_{1}$, направленным влево, а второй и третий заряды с ускорениями $a_{2}$ и $a_{3}$, направленными, соответственно, вправо. Запишем 2-й закон Ньютона для каждого заряда ($T$ - сила натяжения нити, постоянная $k$ в системе СИ равна $1/(4 \pi \epsilon_{0} )$):
$2ma_{1} = F_{1} = \frac{kq^{2} }{L^{2} } + \frac{2kq^{2} }{(2L)^{2} } = \frac{2kq^{2} }{2L^{2} }$,
$ma_{2} = T - F_{2} = T + \frac{kq^{2} }{L^{2} } - \frac{2kq^{2} }{L^{2} } = T - \frac{kq^{2} }{L^{2} }$,
$ma_{3} = F_{3} - T = - Т + \frac{2kq^{2} }{ L^{2} } + \frac{2kq^{2} }{ (2L)^{2} } = \frac{5kq^{2} }{2L^{2} } - T$.
Из первого равенства следует, что
$a_{1} = \frac{3kq^{2} }{4L^{2} }$.
Проанализируем два оставшихся равенства. Так как $a_{2}$ неотрицательно, то $T > 0$, т.е. нить является натянутой. Следовательно, ускорения второго и третьего заряда в начальный момент равны $a_{2} = a_{3}$. Отсюда, складывая оставшиеся равенства, получаем, что
$2ma_{2} = \frac{3kq^{2} }{2L^{2} } \Rightarrow a_{2} = a_{3} = \frac{3kq^{2} }{4L^{2} }$.
Заметим, что в дальнейшем действие первого заряда ослабевает, поэтому нить во время всего движения зарядов остаётся натянутой из-за взаимного отталкивания второго и третьего заряда. Это значит, что в любой момент времени их скорости и ускорения совпадают.
Для нахождения скоростей зарядов на бесконечности, запишем выражения для потенциально и кинетической энергии системы из трёх зарядов в начальный момент:
$E_{к1} = 0, E_{п1} = \frac{kq^{2} }{L} + \frac{2kq^{2} }{L} + \frac{2kq^{2} }{2L} = \frac{4kq^{2} }{L}$
и на бесконечности:
$E_{к2} = \frac{2mv_{1}^{2} }{2} + \frac{mv_{2}^{2} }{2} + \frac{mv_{3}^{2} }{2} = \frac{2mv_{1}^{2} }{2} + 2 \frac{mv_{2}^{2} }{2}, E_{п2} = \frac{2kq^{2} }{L}$.
Потенциальная энергия $E_{п2}$ не равна нулю, так как второй и третий заряды всегда находятся на расстоянии $L$. По закону сохранения энергии, получаем
$\frac{2mv_{1}^{2} }{2} + 2 \frac{mv_{2}^{2}}{2} + \frac{2kq^{2}}{L} = \frac{4kq^{2}}{L} \Rightarrow v_{1}^{2} + v_{2}^{2} = \frac{2kq^{2} }{mL}$.
С другой стороны, по закону сохранения импульса:
$0 = - 2mv_{1} + mv_{2} + mv_{3} \Rightarrow 0 = - 2mv_{1} + 2mv_{2} \Rightarrow v_{2} = v_{1}$.
Отсюда получаем, что
$v_{1} = v_{2} = v_{2} = \sqrt{ \frac{kq^{2} }{mL} }$.
