2016-09-17
Цилиндрическое ведро, наполовину заполненное водой, жёстко закреплено на краю лопасти ветряной мельницы (см. рисунок). При какой угловой скорости $\omega$ вращения лопастей вода не будет выливаться из ведра? Длина лопасти $L$ много больше высоты ведра $h$ и диаметра его дна $d$. Ускорение свободного падения равно $g$.
Решение:
рис.1
рис.2
Определим положение поверхности воды в ведре в момент, когда лопасть составляет некоторый угол $\alpha$ с вертикалью (см. рис. 1). Уравнение движения элемента жидкости, находящегося вблизи её поверхности, имеет вид: $m \vec{a} = m \vec{g} + \vec{F}_{Арх}$, где $\vec{F}_{Арх}$ — архимедова сила, действующая на данный элемент, $\vec{a}$ — его центростремительное ускорение. Известно, что в равновесии направление архимедовой силы перпендикулярно к свободной поверхности жидкости; с другой стороны, из-за малости размеров ведра переходные процессы быстротечны, и воду в каждый момент времени можно считать находящейся в равновесии. Поскольку $\vec{F}_{Apx} = m( \vec{a} — \vec{g})$, получаем, что поверхность воды в ведре перпендикулярна вектору $\vec{a} + (— \vec{g})$.
Так как лопасть очень длинная, то центростремительное ускорение равно $\vec{a} = \omega^{2} L \vec{n}$, где $\vec{n}$ — единичный вектор, направленный к оси вращения. Вектор ускорения $\vec{a}$ постоянен по величине и направлен вдоль лопасти мельницы и оси жёстко прикреплённого к ней ведра, а вектор $— \vec{g}$ вращается относительно ведра при вращении лопасти. Поэтому векторную сумму $\vec{a} + (— \vec{g})$ удобно изображать в системе отсчёта, жёстко связанной с ведром (см. рис. 2). Обозначив угол отклонения вектора $a + (— \vec{g})$ от оси ведра, равный углу наклона поверхности воды ко дну ведра, через $\beta$, получаем, что максимальное его значение определяется соотношением: $\sin \beta_{max} = g/a = g/ ( \omega^{2} L)$. Вода не будет выливаться из ведра, заполненного наполовину, если $\sin \beta_{max} = \frac{g}{ \omega^{2} L} < \frac{h}{ \sqrt{h^{2} + d^{2}}}$. Отсюда
$\omega^{2} > \frac{g}{L} \sqrt{1 + \frac{d^{2}}{h^{2}}}$.