Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9687
2018-10-25 
Большой шар массы $M$ соединен невесомыми нитями длиной $l$ с маленькими шариками массы $m$ каждый. Первоначально три шара расположены вдоль одной прямой линии на гладкой поверхность. Большой шар получает начальную скорость $v$ в направлении, перпендикулярном к линии. Найти:
a. натяжения нитей, когда большой шар получает скорость;
b. натяжения нитей, когда два маленьких шарика встречаются.
Решение:
а) Рассмотрим движение в системе отсчета шарика с массой $M$ в начальный момент времени. Маленькие шарики массы $m$ будут вращаться вокруг большого шара со скоростью $v$. Ускорение большого шара $a_{M}$, в силу симметрии задачи (равенства сил натяжения нитей слева и справа), будет направлено перпендикулярно к нити. Таким образом, в проекции на ось нити, имеем:
$T = \frac{mv^{2} }{l}$.
б) Обозначим $u_{M}$ - скорость большого шара, $u_{y}$ и $u_{x}$ - проекции скорости $u_{m}$ малого шара на направление нити и направление, перпендикулярное к нити соответственно (оси у и x на рисунке). В момент соприкосновения малых шариков проекции скоростей всех шаров на ось у равны, т.е. $u_{y} = u_{M} = u$. Из закона сохранения импульса находим:
$u = \frac{M}{M + 2m} v$.
Ускорения шаров будет направлено вдоль нити (ось у). Запишем второй закон Ньютона для большого шара:
$Ma_{M} = 2T$. (1)
Для малого шара:
$T + ma_{M} = m \frac{u_{x}^{2} }{l}$. (2)
Из (1) и (2) находим:
$T = \frac{Mmu_{x}^{2} }{(M + 2m)l}$ (3)
Запишем закон сохранения энергии:
$\frac{Mv^{2}}{2} = \frac{Mu^{2}}{2} + 2 \frac{mu_{m}^{2}}{2} = \frac{Mu^{2} }{2} + 2 \frac{m(u^{2} + u_{x}^{2} }{2}$ (4)
Где $u_{m} = \sqrt{u^{2} + u_{x}^{2} }$ - полная скорость малого шарика. Получаем для проекции $u_{x}^{2}$:
$mu_{x}^{2} = \frac{Mv^{2} }{2} - \frac{M + 2m}{2} u^{2} = \frac{Mv^{2} }{2} - \frac{(M + 2m)}{2} \left ( \frac{M}{M + 2m} v \right )^{2} = \frac{Mmv^{2} }{M + 2m}$ (5)
Из соотношений (3) и (5) находим:
$T = \frac{M^{2}mv^{2} }{(M + 2m)^{2}l }$.
Большой шар массы $M$ соединен невесомыми нитями длиной $l$ с маленькими шариками массы $m$ каждый. Первоначально три шара расположены вдоль одной прямой линии на гладкой поверхность. Большой шар получает начальную скорость $v$ в направлении, перпендикулярном к линии. Найти:
a. натяжения нитей, когда большой шар получает скорость;
b. натяжения нитей, когда два маленьких шарика встречаются.
Решение:
а) Рассмотрим движение в системе отсчета шарика с массой $M$ в начальный момент времени. Маленькие шарики массы $m$ будут вращаться вокруг большого шара со скоростью $v$. Ускорение большого шара $a_{M}$, в силу симметрии задачи (равенства сил натяжения нитей слева и справа), будет направлено перпендикулярно к нити. Таким образом, в проекции на ось нити, имеем:
$T = \frac{mv^{2} }{l}$.
б) Обозначим $u_{M}$ - скорость большого шара, $u_{y}$ и $u_{x}$ - проекции скорости $u_{m}$ малого шара на направление нити и направление, перпендикулярное к нити соответственно (оси у и x на рисунке). В момент соприкосновения малых шариков проекции скоростей всех шаров на ось у равны, т.е. $u_{y} = u_{M} = u$. Из закона сохранения импульса находим:
$u = \frac{M}{M + 2m} v$.
Ускорения шаров будет направлено вдоль нити (ось у). Запишем второй закон Ньютона для большого шара:
$Ma_{M} = 2T$. (1)
Для малого шара:
$T + ma_{M} = m \frac{u_{x}^{2} }{l}$. (2)
Из (1) и (2) находим:
$T = \frac{Mmu_{x}^{2} }{(M + 2m)l}$ (3)
Запишем закон сохранения энергии:
$\frac{Mv^{2}}{2} = \frac{Mu^{2}}{2} + 2 \frac{mu_{m}^{2}}{2} = \frac{Mu^{2} }{2} + 2 \frac{m(u^{2} + u_{x}^{2} }{2}$ (4)
Где $u_{m} = \sqrt{u^{2} + u_{x}^{2} }$ - полная скорость малого шарика. Получаем для проекции $u_{x}^{2}$:
$mu_{x}^{2} = \frac{Mv^{2} }{2} - \frac{M + 2m}{2} u^{2} = \frac{Mv^{2} }{2} - \frac{(M + 2m)}{2} \left ( \frac{M}{M + 2m} v \right )^{2} = \frac{Mmv^{2} }{M + 2m}$ (5)
Из соотношений (3) и (5) находим:
$T = \frac{M^{2}mv^{2} }{(M + 2m)^{2}l }$.
