Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9686
2018-10-25 
При движении трамвая по горизонтальному участку пути с некоторой скоростью его двигатель при КПД равном $\eta$ потребляет ток силы $I_{1}$. Движение трамвая вниз по наклонному участку пути с той же скоростью происходит без потребления электроэнергии. Определите возможные значения силы тока, которую будет потреблять двигатель трамвая при движении по этому же наклонному участку пути вверх с той же скоростью. Выберите из найденных вариантов наиболее правдоподобный.
Решение:
Пусть: $U_{0}$ - напряжение в сети трамвайной линии; $I_{1}$ и $I_{2}$ - силы тока, потребляемого двигателем трамвая на горизонтальном и наклонном участке при движении вверх; $R$ - полное сопротивление цепи электродвигателя и контактных проводов; $P_{тр}$ и $P_{т}$ - модули мощностей сил трения и тяжести.
При движении трамвая по горизонтальному участку пути мощность тока, потребляемая от сети, равна $P = U_{0} I_{1}$. Часть этой мощности теряется в виде джоулева тепла $I_{1}^{2}R$, выделяющегося на полном сопротивлении $R$. Поэтому КПД двигателя:
$\eta = \frac{U_{0} I_{1} - I_{1}^{2} R}{U_{0}I_{1} } = 1 - \frac{I_{1}R }{U_{0} }$. (1)
Согласно закону сохранения и превращения энергии, при движении трамвая с постоянной скоростью по горизонтальному участку пути полезная мощность $\eta U_{0}I_{1}$ должна быть равна мощности силы трения $P_{тр}$:
$\eta U_{0} I_{1} = P_{тр}$. (2)
При движении трамвая вниз по наклонному участку пути с той же постоянной скоростью с выключенным двигателем абсолютное значение мощности сил трения должно быть равно мощности силы тяжести:
$P_{тр} = P_{т}$, (3)
а при движении по этому же наклонному участку пути вверх мощность, потребляемая из сети, будет расходоваться на джоулево тепло и на совершение работы против сил трения и тяжести:
$U_{0}I_{2} = I_{2}^{2} R + P_{тр} + P_{т} = I_{2}^{2} R + 2 \eta U_{0}I_{1}$,
$I_{2}^{2} \frac{R}{U_{0} } - I_{2} + 2 \eta I_{1} = 0$.
Здесь важно, что изменение знака работы силы тяжести привело к изменению процессов внутри электрической системы. В ней потёк больший ток, как следствие потребовалось ещё большая его мощность, чтобы скомпенсировать так же и рост потерь.
Из равенств (2) и (3) получим: $P_{т} = \eta U_{0}I_{1}$.
Из выражения (1) найдём отношение $\frac{R}{U_{0} } = \frac{1 - \eta}{I_{1} }$, и подставим его в последнее квадратное уравнение:
$I_{2}^{2} (1 - \eta) - I_{1}I_{2} + 2 \eta I_{1}^{2} =0$.
Решая это уравнение относительно искомой силы тока $I_{2}$, получим:
$I_{2} = I_{1} \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \eta (1 - \eta) } }{2(1 - \eta)}$.
В этом выражении два «сюрприза»: во-первых - возможно два знака перед знаком радикала, во-вторых выражение под корнем больше нуля только при $\eta > 0,85$ и $\eta < 0,15$.
Ограничения на КПД, обусловлены условием задачи: упомянутые в условии равенства невозможны при других значениях КПД.Знак «-» перед корнем означает, что $I_{2} < I_{1}$. Такая «экономия» может возникнуть, если при движении по прямой потери на джоулево тепло превосходили потери на трение. В реальном устройстве это трудно себе представить, так же, как и КПД электродвигателя меньше 15%.
В итоге получаем ответ:
$I_{2} = I_{1} \frac{1 + \sqrt{1 - 8 \eta (1 - \eta) } }{2(1 - \eta)}$; при $\eta > 0,85$.
При движении трамвая по горизонтальному участку пути с некоторой скоростью его двигатель при КПД равном $\eta$ потребляет ток силы $I_{1}$. Движение трамвая вниз по наклонному участку пути с той же скоростью происходит без потребления электроэнергии. Определите возможные значения силы тока, которую будет потреблять двигатель трамвая при движении по этому же наклонному участку пути вверх с той же скоростью. Выберите из найденных вариантов наиболее правдоподобный.
Решение:
Пусть: $U_{0}$ - напряжение в сети трамвайной линии; $I_{1}$ и $I_{2}$ - силы тока, потребляемого двигателем трамвая на горизонтальном и наклонном участке при движении вверх; $R$ - полное сопротивление цепи электродвигателя и контактных проводов; $P_{тр}$ и $P_{т}$ - модули мощностей сил трения и тяжести.
При движении трамвая по горизонтальному участку пути мощность тока, потребляемая от сети, равна $P = U_{0} I_{1}$. Часть этой мощности теряется в виде джоулева тепла $I_{1}^{2}R$, выделяющегося на полном сопротивлении $R$. Поэтому КПД двигателя:
$\eta = \frac{U_{0} I_{1} - I_{1}^{2} R}{U_{0}I_{1} } = 1 - \frac{I_{1}R }{U_{0} }$. (1)
Согласно закону сохранения и превращения энергии, при движении трамвая с постоянной скоростью по горизонтальному участку пути полезная мощность $\eta U_{0}I_{1}$ должна быть равна мощности силы трения $P_{тр}$:
$\eta U_{0} I_{1} = P_{тр}$. (2)
При движении трамвая вниз по наклонному участку пути с той же постоянной скоростью с выключенным двигателем абсолютное значение мощности сил трения должно быть равно мощности силы тяжести:
$P_{тр} = P_{т}$, (3)
а при движении по этому же наклонному участку пути вверх мощность, потребляемая из сети, будет расходоваться на джоулево тепло и на совершение работы против сил трения и тяжести:
$U_{0}I_{2} = I_{2}^{2} R + P_{тр} + P_{т} = I_{2}^{2} R + 2 \eta U_{0}I_{1}$,
$I_{2}^{2} \frac{R}{U_{0} } - I_{2} + 2 \eta I_{1} = 0$.
Здесь важно, что изменение знака работы силы тяжести привело к изменению процессов внутри электрической системы. В ней потёк больший ток, как следствие потребовалось ещё большая его мощность, чтобы скомпенсировать так же и рост потерь.
Из равенств (2) и (3) получим: $P_{т} = \eta U_{0}I_{1}$.
Из выражения (1) найдём отношение $\frac{R}{U_{0} } = \frac{1 - \eta}{I_{1} }$, и подставим его в последнее квадратное уравнение:
$I_{2}^{2} (1 - \eta) - I_{1}I_{2} + 2 \eta I_{1}^{2} =0$.
Решая это уравнение относительно искомой силы тока $I_{2}$, получим:
$I_{2} = I_{1} \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \eta (1 - \eta) } }{2(1 - \eta)}$.
В этом выражении два «сюрприза»: во-первых - возможно два знака перед знаком радикала, во-вторых выражение под корнем больше нуля только при $\eta > 0,85$ и $\eta < 0,15$.
Ограничения на КПД, обусловлены условием задачи: упомянутые в условии равенства невозможны при других значениях КПД.Знак «-» перед корнем означает, что $I_{2} < I_{1}$. Такая «экономия» может возникнуть, если при движении по прямой потери на джоулево тепло превосходили потери на трение. В реальном устройстве это трудно себе представить, так же, как и КПД электродвигателя меньше 15%.
В итоге получаем ответ:
$I_{2} = I_{1} \frac{1 + \sqrt{1 - 8 \eta (1 - \eta) } }{2(1 - \eta)}$; при $\eta > 0,85$.
