2016-09-17
Закрытая трубка длиной $l$, полностью заполненная жидкостью, составляет угол $\alpha$ с вертикальной осью, проходящей через её нижний конец (см. рисунок). В жидкости плавает лёгкая пробка. До какой угловой скорости $\omega$ нужно раскрутить трубку вокруг оси, чтобы пробка погрузилась до середины трубки?
Решение:
Рассмотрим неподвижную жидкость массой $\Delta m$ в объёме, равном объёму пробки. В обычных земных условиях на него действует сила тяжести $\Delta mg$, направленная вниз. Она уравновешивается силами давления, действующими на этот объём со стороны соседних слоёв жидкости. Равнодействующая сил давления представляет собой выталкивающую Архимедову силу, направленную в сторону уменьшения давления в жидкости, то есть вверх. Она, очевидно, равна $F_{1} = \Delta mg$.
Пусть теперь рассматриваемый элементарный объём жидкости находится во вращающейся трубке. Так как он движется по окружности, то на него, кроме силы тяжести и силы $F_{1}$, должна действовать сила, направленная к оси вращения и обеспечивающая ему центростремительное ускорение. Такой силой может быть только равнодействующая сил давления, возникающих внутри жидкости. По величине она равна $F_{2} = \Delta m \omega^{2} r$, где $r$ — расстояние от выделенного элемента жидкости до оси вращения. Эта сила, подобно силе $F_{1}$, пропорциональна массе элементарного объёма и направлена в сторону уменьшения давления, то есть к оси, вокруг которой вращается трубка. Силы $F_{1}$ и $F_{2}$, складываясь геометрически, дают силу Архимеда $F_{Арх}$, действующую на вращающийся выделенный объём жидкости. Отметим, что Архимедова сила в данном случае направлена под углом к вертикали.
Так как в условии задачи сказано, что пробка лёгкая (это означает, что её масса много меньше массы $\Delta m$ вытесненной ею жидкости), то действующую на пробку силу тяжести можно не учитывать, и принимать во внимание только силы $F_{1}$ и $F_{2}$. Для того, чтобы пробка покоилась, сумма этих сил не должна иметь составляющей, направленной вдоль трубки, то есть должна быть перпендикулярна трубке. Из рисунка видно, что для этого должно выполняться соотношение: $F_{2} \sin \alpha = F_{1} \cos \alpha$, или $\Delta m \omega^{2} \frac{l}{2} \sin^{2} \alpha = \Delta mg \cos \alpha$. Отсюда
$\omega = \frac{1}{ \sin \alpha} \sqrt{ \frac{2g \cos \alpha}{l}}$.
Отметим, что положение пробки при данной частоте вращения будет устойчивым. Действительно, при неизменной составляющей силы Архимеда $F_{1}$, обусловленной силой тяжести, смещение пробки вверх приводит к увеличению её расстояния от оси вращения, в результате чего увеличивается составляющая силы Архимеда $F_{2}$. В результате появляется составляющая силы, направленная вдоль трубки вниз, которая возвращает пробку в прежнее положение. При смещении пробки вниз картина обратная.