Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 967
2016-09-17 
Маленький шарик подвешен на лёгкой нити длиной $l$. Один раз его отклоняют на некоторый угол и сообщают ему такую скорость в горизонтальном направлении, что он начинает вращаться по окружности в горизонтальной плоскости с периодом обращения $T$. В другой раз шарик отклоняют на тот же угол и отпускают его без начальной скорости. Найдите максимальное отношение силы натяжения нити в первом случае к силе её натяжения во втором случае.
Решение:
На шарик массой $m$, отклонённый от вертикали на некоторый угол $\alpha$, действуют сила тяжести $mg$ и сила натяжения нити $N_{i}$.
Рассмотрим первый случай, когда шарик вращается в горизонтальной плоскости по окружности радиусом $r = l \cdot \sin \alpha$. Запишем для некоторого момента времени второй закон Ньютона в проекциях на вертикальную ось $Z$ и на горизонтальную ось $R$, причём ось $Z$ направим вверх, а ось $R$ — к центру окружности:
$ma_{z} = - mg + N_{1} \cos \alpha = 0, ma_{r} = m \frac{v^{2}}{r} = N_{a} \sin \alpha$.
Отсюда величина ускорения шарика равна
$a = a_{r} = \frac{N_{1} \sin \alpha}{m} = \frac{mg \sin \alpha}{m \cos \alpha} = g tg \alpha$,
а его скорость $v = \sqrt{ gl \sin \alpha tg \alpha}$. Поскольку период обращения равен
$T = \frac{2 \pi r}{v} = \frac{2 \pi l \sin \alpha}{ \sqrt{ gl \sin \alpha tg \alpha}}$,
то $\cos \alpha = \frac{gT^{2}}{4 \pi^{2} l}$, и сила натяжения нити $N_{1} = \frac{mg}{ \cos \alpha} = \frac{4 \pi^{2} ml}{T^{2}}$ - постоянная величина.
Для второго случая удобно записать второй закон Ньютона в проекциях на касательную ось $X$, направленную в данный момент вдоль траектории движения шарика, и на нормальную ось $Y$, направленную к точке подвеса нити:
$ma_{x} = mg \sin \alpha, ma_{y} = - mg \cos \alpha + N_{2}$.
Поскольку здесь шарик движется по окружности радиусом $l$, то его ускорение $a_{y} = v^{2}/l$. Очевидно, что максимум отношения сил натяжения нити $N_{1}/N_{2}$ будет достигаться тогда, когда величина
$N_{2} = m \left ( \frac{v^{2}}{l} + g \cos \alpha \right )$
принимает минимальное значение, то есть при $v = 0$, в положении максимального отклонения шарика: $(N_{2})_{min} = mg \cos \alpha$.
Таким образом, максимальное отношение силы натяжения нити в первом случае к силе её натяжения во втором случае равно
$\left ( \frac{N_{1}}{N_{2}} \right )_{min} = \frac{1}{ \cos^{2} \alpha} = \left ( \frac{2 \pi}{T} \right )^{4} \left ( \frac{l}{g} \right )^{2}$.
Маленький шарик подвешен на лёгкой нити длиной $l$. Один раз его отклоняют на некоторый угол и сообщают ему такую скорость в горизонтальном направлении, что он начинает вращаться по окружности в горизонтальной плоскости с периодом обращения $T$. В другой раз шарик отклоняют на тот же угол и отпускают его без начальной скорости. Найдите максимальное отношение силы натяжения нити в первом случае к силе её натяжения во втором случае.
Решение:
На шарик массой $m$, отклонённый от вертикали на некоторый угол $\alpha$, действуют сила тяжести $mg$ и сила натяжения нити $N_{i}$.
Рассмотрим первый случай, когда шарик вращается в горизонтальной плоскости по окружности радиусом $r = l \cdot \sin \alpha$. Запишем для некоторого момента времени второй закон Ньютона в проекциях на вертикальную ось $Z$ и на горизонтальную ось $R$, причём ось $Z$ направим вверх, а ось $R$ — к центру окружности:
$ma_{z} = - mg + N_{1} \cos \alpha = 0, ma_{r} = m \frac{v^{2}}{r} = N_{a} \sin \alpha$.
Отсюда величина ускорения шарика равна
$a = a_{r} = \frac{N_{1} \sin \alpha}{m} = \frac{mg \sin \alpha}{m \cos \alpha} = g tg \alpha$,
а его скорость $v = \sqrt{ gl \sin \alpha tg \alpha}$. Поскольку период обращения равен
$T = \frac{2 \pi r}{v} = \frac{2 \pi l \sin \alpha}{ \sqrt{ gl \sin \alpha tg \alpha}}$,
то $\cos \alpha = \frac{gT^{2}}{4 \pi^{2} l}$, и сила натяжения нити $N_{1} = \frac{mg}{ \cos \alpha} = \frac{4 \pi^{2} ml}{T^{2}}$ - постоянная величина.
Для второго случая удобно записать второй закон Ньютона в проекциях на касательную ось $X$, направленную в данный момент вдоль траектории движения шарика, и на нормальную ось $Y$, направленную к точке подвеса нити:
$ma_{x} = mg \sin \alpha, ma_{y} = - mg \cos \alpha + N_{2}$.
Поскольку здесь шарик движется по окружности радиусом $l$, то его ускорение $a_{y} = v^{2}/l$. Очевидно, что максимум отношения сил натяжения нити $N_{1}/N_{2}$ будет достигаться тогда, когда величина
$N_{2} = m \left ( \frac{v^{2}}{l} + g \cos \alpha \right )$
принимает минимальное значение, то есть при $v = 0$, в положении максимального отклонения шарика: $(N_{2})_{min} = mg \cos \alpha$.
Таким образом, максимальное отношение силы натяжения нити в первом случае к силе её натяжения во втором случае равно
$\left ( \frac{N_{1}}{N_{2}} \right )_{min} = \frac{1}{ \cos^{2} \alpha} = \left ( \frac{2 \pi}{T} \right )^{4} \left ( \frac{l}{g} \right )^{2}$.
