2016-09-17
По внутренней поверхности гладкой конической воронки, стоящей вертикально, скользят с постоянными по величине скоростями на высотах $h_{1}$ и $h_{2}$ от вершины конуса две маленькие шайбы (см. рисунок). Запишите для таких шайб аналог третьего закона Кеплера, то есть найдите отношение квадратов их периодов обращения вокруг оси конуса.
Решение:
Рассмотрим движение одной из шайб с постоянной скоростью $v$ по окружности радиусом $R$ на высоте $h$ от вершины конуса. На шайбу действуют сила тяжести $mg$ и сила реакции $N$ со стороны воронки (см. рис.). Уравнения движения шайбы в проекциях на вертикальное и радиальное направления имеют вид: $N \sin \alpha = mg$ и $N \cos \alpha = mv^{2}/R$, где $\alpha$ — угол полураствора конуса. Кроме того, $R = h tg \alpha$. Из этих уравнений получаем: $v = \sqrt{gh}$, и период обращения $T = 2 \pi R/v = 2 \pi tg \alpha \sqrt{h/g}$. Таким образом, аналог третьего закона Кеплера для описанных в условии шайб имеет вид: $\frac{T_{1}^{2}}{T_{2}^{2}} = \frac{h_{1}}{h_{2}}$.