Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9645
2018-10-21 
Маршруты патрульных машин - квадраты со сторонами 4 и 8 км и общей вершиной A. Патрули одновременно выезжают из A. Первый объезжает меньший квадрат со скоростью $v_{1} = 40 км/час$ по часовой стрелке, второй - больший со скоростью $v_{2} = 60 км/час$ против часовой стрелки. На каком расстоянии $x$ от точки A будут происходить встречи патрулей? Через какое время произойдёт их первая встреча?
Решение:
Обозначим $a$ сторону меньшего квадрата. При однократном объезде проходится 4 стороны, то есть расстояние $4a$. Сторона большего квадрата тогда $2a$, а при его однократном объезде проходится расстояние $8a$. Допустим, что встреча происходит на «вертикальной» стороне меньшего квадрата через время $t$. Тогда первый патруль проезжает расстояние $x$ плюс некоторое целое число $n_{1}$ объездов меньшего квадрата, второй - расстояние $8a$ - $x$ плюс некоторое целое число $n_{2}$ объездов большего квадрата:
$x + n_{1}4a = v_{1}t; (8a - x) + n_{2}8a = v_{2}t$.
Отсюда, исключив $t$
$\frac{x + n_{1}4a}{v_{1} } = \frac{(8a - x) + n_{2}8a}{v_{2}}$.
После подстановки значений скоростей получаем выражение для $x$:
$x = \frac{(4n_{2} + 4 - 3n_{1})4a}{5}$.
Квадратная скобка обязательно целое число. В нашем случае ($x$ от 0 до $a$) это может быть только 0 и 1. Для ближайшей по времени встречи в A $n_{1} = 4$, а $n_{2} = 2$. Для ближайшей встречи при $x = 4a/5= 3,2 км$ $n_{1} = 1$, а $n_{2} = 0$ и она произойдёт через время $t = \frac{x + 4a}{v_{1} } = 19,2/40 = 0,48 часа$, то есть заведомо раньше. Аналогичное рассмотрение для места встречи на горизонтальной стороне квадрата даёт то же расстояние $x = 4a/5 = 3,2 км$, а время большее 0,48 часа! Отметим, что решения для отрицательного $x$ предыдущего случая дают место встреч на «горизонтали».
Ответ: встречи происходят в точке A ($x = 0$) и на расстоянии $x = 3,2 км$ от A на горизонтальной и вертикальной стороне меньшего квадрата. Первая встреча произойдёт через 0,48 часа.
Маршруты патрульных машин - квадраты со сторонами 4 и 8 км и общей вершиной A. Патрули одновременно выезжают из A. Первый объезжает меньший квадрат со скоростью $v_{1} = 40 км/час$ по часовой стрелке, второй - больший со скоростью $v_{2} = 60 км/час$ против часовой стрелки. На каком расстоянии $x$ от точки A будут происходить встречи патрулей? Через какое время произойдёт их первая встреча?
Решение:
Обозначим $a$ сторону меньшего квадрата. При однократном объезде проходится 4 стороны, то есть расстояние $4a$. Сторона большего квадрата тогда $2a$, а при его однократном объезде проходится расстояние $8a$. Допустим, что встреча происходит на «вертикальной» стороне меньшего квадрата через время $t$. Тогда первый патруль проезжает расстояние $x$ плюс некоторое целое число $n_{1}$ объездов меньшего квадрата, второй - расстояние $8a$ - $x$ плюс некоторое целое число $n_{2}$ объездов большего квадрата:
$x + n_{1}4a = v_{1}t; (8a - x) + n_{2}8a = v_{2}t$.
Отсюда, исключив $t$
$\frac{x + n_{1}4a}{v_{1} } = \frac{(8a - x) + n_{2}8a}{v_{2}}$.
После подстановки значений скоростей получаем выражение для $x$:
$x = \frac{(4n_{2} + 4 - 3n_{1})4a}{5}$.
Квадратная скобка обязательно целое число. В нашем случае ($x$ от 0 до $a$) это может быть только 0 и 1. Для ближайшей по времени встречи в A $n_{1} = 4$, а $n_{2} = 2$. Для ближайшей встречи при $x = 4a/5= 3,2 км$ $n_{1} = 1$, а $n_{2} = 0$ и она произойдёт через время $t = \frac{x + 4a}{v_{1} } = 19,2/40 = 0,48 часа$, то есть заведомо раньше. Аналогичное рассмотрение для места встречи на горизонтальной стороне квадрата даёт то же расстояние $x = 4a/5 = 3,2 км$, а время большее 0,48 часа! Отметим, что решения для отрицательного $x$ предыдущего случая дают место встреч на «горизонтали».
Ответ: встречи происходят в точке A ($x = 0$) и на расстоянии $x = 3,2 км$ от A на горизонтальной и вертикальной стороне меньшего квадрата. Первая встреча произойдёт через 0,48 часа.
