2016-09-17
Маленькую шайбу массой $m$ запустили со скоростью $v_{0}$ по касательной к внутренней поверхности находящейся в невесомости сферы массой $M$ и радиусом $a$. Найдите величину силы, действующей на шайбу со стороны сферы. Трение отсутствует, сфера вначале покоилась.
Решение:
В системе отсчёта, движущейся со скоростью $\vec{u} = \frac{m}{m+M} \vec{v}_{0}$, центр масс шайбы и сферы покоится, а сама шайба и центр сферы движутся вокруг этого центра масс по окружностям с радиусами $R_{ш} = a \frac{M}{m+M}$ и $R_{с} = a \frac{m}{m+M}$ соответственно. Их скорости при этом направлены в противоположные стороны и по величине равны, соответственно, $v_{ш} = v_{0} - u = v_{0} \frac{M}{m+M}$ и $v_{c} = \frac{mv_{ш}}{M} = v_{0} \frac{m}{m+M}$. Поэтому сила, действующая на шайбу со стороны сферы, равна
$F = \frac{mv_{ш}^{2}}{R_{ш}} = \frac{mM}{m+M} \cdot \frac{v_{0}^{2}}{a}$.