Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9639
2018-10-21 
Три частицы, с зарядом $q$ и массой $m$ каждая, находятся на прямой. Первые две удерживают на расстоянии $r$ друг от друга, а третью на много большем чем $r$ расстоянии от них. Частицы одновременно отпускают. Найдите наименьшее расстояние $R$ между второй (средней) и третьей частицей. Какими станут скорости частиц $v_{1}, v_{2}$ и $v_{3}$ через очень большое время?
Решение:
Третья частица находится на расстоянии много большем расстояния $r$ между двумя первыми частицами. Следовательно, сначала можно рассматривать только взаимодействие частиц 1 и 2. Потенциальная энергия кулоновского взаимодействия двух зарядов:
$U = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} r }$.
После того, как их перестанут удерживать, частицы разлетятся в противоположные стороны и потенциальная энергия перейдет в кинетическую. Закон сохранения энергии даст:
$2 \left ( \frac{mv^{2}}{2} \right ) = \frac{q^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} r}$.
Откуда скорости частиц после разлёта:
$v = \frac{q}{ \sqrt{4 \pi \epsilon_{0} rm }}$.
В то время, как первая частица улетает в свое удовольствие на бесконечность, никого не трогая, вторая начнет заметно взаимодействовать с третьей и из-за кулоновского отталкивания импульс будет постепенно передаваться от второй к третьей частице. Наименьшее расстояние между второй и третьей частицей будет, когда их скорости (и соответственно импульсы) сравняются (до этого момента вторая частица будет лететь быстрее третьей и расстояние между ними будет уменьшаться, а после — третья частица будет лететь быстрее и расстояние будет увеличиваться). Обозначим скорости частиц в этот момент за $u$. Из сохранения импульса:
$mv = m u + m u$.
Из сохранения энергии:
$\frac{m v^{2}}{2} = 2 \left ( \frac{mu^{2} }{2} \right ) + \frac{q^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} R}$.
Решая уравнения, с учетом найденной ранее $v$, получим $R = 4r$.
Вторая и третья частица будут взаимодейстовать до тех пор, пока не разойдутся снова на бесконечно большое расстояние. Тогда из сохранения энергии и импульса получим, что вторая частица остановится, передав полностью свой импульс и скорость третьей частице: $v_{3} = \frac{q}{ \sqrt{4 \pi \epsilon_{0} rm }}$; a $v_{2} = 0$. Скорость же первой частицы уже найдена : $v_{1} = \frac{q}{ \sqrt{4 \pi \epsilon_{0} rm}}$.
Три частицы, с зарядом $q$ и массой $m$ каждая, находятся на прямой. Первые две удерживают на расстоянии $r$ друг от друга, а третью на много большем чем $r$ расстоянии от них. Частицы одновременно отпускают. Найдите наименьшее расстояние $R$ между второй (средней) и третьей частицей. Какими станут скорости частиц $v_{1}, v_{2}$ и $v_{3}$ через очень большое время?
Решение:
Третья частица находится на расстоянии много большем расстояния $r$ между двумя первыми частицами. Следовательно, сначала можно рассматривать только взаимодействие частиц 1 и 2. Потенциальная энергия кулоновского взаимодействия двух зарядов:
$U = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} r }$.
После того, как их перестанут удерживать, частицы разлетятся в противоположные стороны и потенциальная энергия перейдет в кинетическую. Закон сохранения энергии даст:
$2 \left ( \frac{mv^{2}}{2} \right ) = \frac{q^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} r}$.
Откуда скорости частиц после разлёта:
$v = \frac{q}{ \sqrt{4 \pi \epsilon_{0} rm }}$.
В то время, как первая частица улетает в свое удовольствие на бесконечность, никого не трогая, вторая начнет заметно взаимодействовать с третьей и из-за кулоновского отталкивания импульс будет постепенно передаваться от второй к третьей частице. Наименьшее расстояние между второй и третьей частицей будет, когда их скорости (и соответственно импульсы) сравняются (до этого момента вторая частица будет лететь быстрее третьей и расстояние между ними будет уменьшаться, а после — третья частица будет лететь быстрее и расстояние будет увеличиваться). Обозначим скорости частиц в этот момент за $u$. Из сохранения импульса:
$mv = m u + m u$.
Из сохранения энергии:
$\frac{m v^{2}}{2} = 2 \left ( \frac{mu^{2} }{2} \right ) + \frac{q^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} R}$.
Решая уравнения, с учетом найденной ранее $v$, получим $R = 4r$.
Вторая и третья частица будут взаимодейстовать до тех пор, пока не разойдутся снова на бесконечно большое расстояние. Тогда из сохранения энергии и импульса получим, что вторая частица остановится, передав полностью свой импульс и скорость третьей частице: $v_{3} = \frac{q}{ \sqrt{4 \pi \epsilon_{0} rm }}$; a $v_{2} = 0$. Скорость же первой частицы уже найдена : $v_{1} = \frac{q}{ \sqrt{4 \pi \epsilon_{0} rm}}$.
