Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 963
2016-09-17 
К нижнему концу стержня, расположенного вертикально и вращающегося вокруг своей продольной оси, прикреплена нить длиной $L$. На нити подвешен шарик, размеры которого малы по сравнению с длиной нити. Постройте график зависимости расстояния $R$ между шариком и вертикальной линией, на которой расположен стержень, от угловой скорости $\omega$ вращения стержня. Считайте, что угловая скорость меняется настолько медленно, что при любом её значении движение шарика успевает установиться.
Решение:
рис.1
рис.2
Обозначим через $\alpha$ угол отклонения нити от вертикальной оси вращения системы, а через $T$ — силу натяжения нити (см. рис. 1). В установившемся режиме шарик может либо вращаться по окружности радиусом $R$, либо висеть на вертикальной нити на оси вращения. Запишем уравнения вращательного движения шарика в проекциях на вертикаль и на радиальное направление: $T \cos \alpha = mg$ и $T \sin \alpha = m \omega^{2}/R$. Кроме того, $ \sin \alpha = R/L$. Отсюда получаем: либо $R = \sqrt{ L^{2} - (g^{2}/ \omega^{4})}$, либо $R = 0$. Первое решение не существует при $\omega < \sqrt{g/L}$, так что шарик при малых угловых скоростях вращения будет висеть на вертикальной нити, a $R$ будет равняться 0 вплоть до достижения угловой скорости $\omega = \sqrt{g/L}$.
При $\omega > \sqrt{g/L}$ первое решение становится неустойчивым: при малом отклонении шарика от оси на расстояние $r$ «возвращающая» сила $T \sin \alpha \approx mgr/L$ будет меньше, чем сила, необходимая для обеспечения центростремительного ускорения $m \omega^{2} r$, и $r$ будет расти до тех пор, пока «возвращающая» сила не достигнет необходимой величины при $R = \sqrt{L^{2} - (g^{2}/ \omega^{4})}$, то есть устойчивым станет второе решение. В дальнейшем с ростом $\omega$ расстояние $R$ будет быстро увеличиваться, стремясь к $L$. График зависимости R от си изображён на рисунке 2.
К нижнему концу стержня, расположенного вертикально и вращающегося вокруг своей продольной оси, прикреплена нить длиной $L$. На нити подвешен шарик, размеры которого малы по сравнению с длиной нити. Постройте график зависимости расстояния $R$ между шариком и вертикальной линией, на которой расположен стержень, от угловой скорости $\omega$ вращения стержня. Считайте, что угловая скорость меняется настолько медленно, что при любом её значении движение шарика успевает установиться.
Решение:
рис.1
рис.2
Обозначим через $\alpha$ угол отклонения нити от вертикальной оси вращения системы, а через $T$ — силу натяжения нити (см. рис. 1). В установившемся режиме шарик может либо вращаться по окружности радиусом $R$, либо висеть на вертикальной нити на оси вращения. Запишем уравнения вращательного движения шарика в проекциях на вертикаль и на радиальное направление: $T \cos \alpha = mg$ и $T \sin \alpha = m \omega^{2}/R$. Кроме того, $ \sin \alpha = R/L$. Отсюда получаем: либо $R = \sqrt{ L^{2} - (g^{2}/ \omega^{4})}$, либо $R = 0$. Первое решение не существует при $\omega < \sqrt{g/L}$, так что шарик при малых угловых скоростях вращения будет висеть на вертикальной нити, a $R$ будет равняться 0 вплоть до достижения угловой скорости $\omega = \sqrt{g/L}$.
При $\omega > \sqrt{g/L}$ первое решение становится неустойчивым: при малом отклонении шарика от оси на расстояние $r$ «возвращающая» сила $T \sin \alpha \approx mgr/L$ будет меньше, чем сила, необходимая для обеспечения центростремительного ускорения $m \omega^{2} r$, и $r$ будет расти до тех пор, пока «возвращающая» сила не достигнет необходимой величины при $R = \sqrt{L^{2} - (g^{2}/ \omega^{4})}$, то есть устойчивым станет второе решение. В дальнейшем с ростом $\omega$ расстояние $R$ будет быстро увеличиваться, стремясь к $L$. График зависимости R от си изображён на рисунке 2.
