Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9621
2018-10-20 
В вашем распоряжении имеются: батарейка с известной ЭДС $\mathcal{E}$ и неизвестным внутренним сопротивлением $r$, неидеальный амперметр с неизвестным внутренним сопротивлением $r_{A}$ (причем известно, что $r_{A} < r$), резистор с неизвестным сопротивлением $R$ и провода с пренебрежимо малым сопротивлением. Какие измерения нужно провести, чтобы найти внутреннее сопротивление батарейки? Получите формулу, по которой можно вычислить $r$ по результатам этих измерений. (20 баллов)
Решение:
Проведем измерения силы тока для следующих электрических цепей:
(а) батарейка и амперметр подключены последовательно;
(б) батарейка, амперметр и резистор подключены последовательно;
(в) батарейка, амперметр и резистор подключены параллельно.
Показания амперметра в этих трех цепях обозначим соответственно $I_{1}, I_{2}$ и $I_{3}$. Запишем закон Ома для цепи (а):
$\mathcal{E} = I_{1} (r + r_{A} )$. (1)
Запишем закон Ома для цепи (б):
$\mathcal{E} = I_{2} (r + r_{A} + R)$. (2)
Рассмотрим теперь цепь (в). Обозначим $I_{ \mathcal{E} }$ - сила тока, протекающего через батарейку, $I_{R}$ - сила тока, протекающего через резистор, причем выберем знаки токов так, что выполняется
$I_{ \mathcal{E}} = I_{3} + I_{R}$. (3)
Запишем закон Ома для цепи (в):
$\mathcal{E} - I_{ \mathcal{E}}r = I_{3}r_{A} = I_{R}R$. (4)
Исключая из системы уравнений (3) и (4) токи $I_{ \mathcal{E} }$ и $I_{R}$, получим
$\mathcal{E} = I_{3} \left ( r + r_{A} + \frac{rr_{A} }{R} \right )$. (5)
Исключая из системы уравнений (1),(2) и (5) сопротивления $r_{A}$ и $R$, получим квадратное уравнение на искомое сопротивление $r$:
$r^{2} - \frac{ \mathcal{E} }{I_{1} } r + \left ( \frac{ \mathcal{E} }{I_{3} } - \frac{ \mathcal{E} }{I_{1} } \right ) \left ( \frac{ \mathcal{E} }{I_{2} } - \frac{ \mathcal{E} }{I_{1} } \right ) = 0$. (6)
Из двух решений уравнения (6), в силу условия $r_{A} < r$, выбираем большее:
$r = \frac{ \mathcal{E} }{2} \left ( \frac{1}{I_{1} } + \sqrt{ \frac{1}{I_{1}^{2} } - 4 \left ( \frac{ 1 }{I_{3} } - \frac{ 1 }{I_{1} } \right ) \left ( \frac{ 1 }{I_{2} } - \frac{ 1 }{I_{1} } \right ) } \right )$. (7)
В вашем распоряжении имеются: батарейка с известной ЭДС $\mathcal{E}$ и неизвестным внутренним сопротивлением $r$, неидеальный амперметр с неизвестным внутренним сопротивлением $r_{A}$ (причем известно, что $r_{A} < r$), резистор с неизвестным сопротивлением $R$ и провода с пренебрежимо малым сопротивлением. Какие измерения нужно провести, чтобы найти внутреннее сопротивление батарейки? Получите формулу, по которой можно вычислить $r$ по результатам этих измерений. (20 баллов)
Решение:
Проведем измерения силы тока для следующих электрических цепей:
(а) батарейка и амперметр подключены последовательно;
(б) батарейка, амперметр и резистор подключены последовательно;
(в) батарейка, амперметр и резистор подключены параллельно.
Показания амперметра в этих трех цепях обозначим соответственно $I_{1}, I_{2}$ и $I_{3}$. Запишем закон Ома для цепи (а):
$\mathcal{E} = I_{1} (r + r_{A} )$. (1)
Запишем закон Ома для цепи (б):
$\mathcal{E} = I_{2} (r + r_{A} + R)$. (2)
Рассмотрим теперь цепь (в). Обозначим $I_{ \mathcal{E} }$ - сила тока, протекающего через батарейку, $I_{R}$ - сила тока, протекающего через резистор, причем выберем знаки токов так, что выполняется
$I_{ \mathcal{E}} = I_{3} + I_{R}$. (3)
Запишем закон Ома для цепи (в):
$\mathcal{E} - I_{ \mathcal{E}}r = I_{3}r_{A} = I_{R}R$. (4)
Исключая из системы уравнений (3) и (4) токи $I_{ \mathcal{E} }$ и $I_{R}$, получим
$\mathcal{E} = I_{3} \left ( r + r_{A} + \frac{rr_{A} }{R} \right )$. (5)
Исключая из системы уравнений (1),(2) и (5) сопротивления $r_{A}$ и $R$, получим квадратное уравнение на искомое сопротивление $r$:
$r^{2} - \frac{ \mathcal{E} }{I_{1} } r + \left ( \frac{ \mathcal{E} }{I_{3} } - \frac{ \mathcal{E} }{I_{1} } \right ) \left ( \frac{ \mathcal{E} }{I_{2} } - \frac{ \mathcal{E} }{I_{1} } \right ) = 0$. (6)
Из двух решений уравнения (6), в силу условия $r_{A} < r$, выбираем большее:
$r = \frac{ \mathcal{E} }{2} \left ( \frac{1}{I_{1} } + \sqrt{ \frac{1}{I_{1}^{2} } - 4 \left ( \frac{ 1 }{I_{3} } - \frac{ 1 }{I_{1} } \right ) \left ( \frac{ 1 }{I_{2} } - \frac{ 1 }{I_{1} } \right ) } \right )$. (7)
