2018-10-20
С одноатомным идеальным газом проводят циклы 1-2-3-4-1 и 1-2-4-1 , показанные на рисунке. Найдите КПД обоих циклов. КПД какого из циклов больше и на сколько?
Молярная теплоёмкость одноатомного идеального газа при постоянном объёме $C_{V} = \frac{3}{2}R$.
Решение:
Пусть $\nu$ - количество газа, участвующего в циклах, $P_{0} V_{0} = \nu R T_{0}$. Рассмотрим цикл 1-2-3-4-1. Работа, совершаемая газом за цикл, равна площади, ограниченной графиком цикла:
$A_{1} = 2P_{0} \cdot 2V_{0} = 4P_{0}V_{0}$.
Теплота подводится к газу на участках 1-2 и 2-3. На участке 1-2 к газу подводится количество теплоты
$Q_{12} = C_{V} \nu (T_{2} - T_{1}) = \frac{3}{2} (3P_{0}V_{0} - P_{0}V_{0}) = 3P_{0}V_{0}$,
а на участке 2-3
$Q_{23} = C_{p} \nu (T_{3} - T_{2}) = \frac{5}{2} (9P_{0}V_{0} - 3P_{0}V_{0}) = 15P_{0}V_{0}$.
КПД рассматриваемого цикла:
$\eta_{1} = \frac{A_{1} }{Q_{12} + Q_{23} } = \frac{2}{9}$.
Теперь рассмотрим цикл 1-2-4-1. Работа, совершаемая газом за этот цикл, равна
$A_{2} = \frac{1}{2}2P_{0} \cdot 2V_{0} = 2P_{0}V_{0}$.
Теплота к газу подводится на участке 1-2 ($Q_{12} = 3P_{0}V_{0}$)и, возможно, на участке 2-4. Запишем уравнение участка 2-4:
$\frac{P}{P_{0} } = 4 - \frac{V}{V_{0} }$.
Запишем первое начало термодинамики для малого участка процесса 2-4:
$\Delta Q = \Delta U + \Delta A = C_{V} \nu \Delta T + P \Delta V = \frac{3}{2} \nu R \Delta T + P \Delta V = \frac{3}{2} \Delta (PV) + P \Delta V$.
Считая, что $\Delta P$ и $\Delta V$ малы, получим, $\Delta (PV) = P \Delta V + V \Delta P$ и
$\Delta Q = \frac{5}{2} P \Delta V + \frac{3}{2} V \Delta P$.
Для процесса 2-4, где $P = P_{0} \left ( 4 - \frac{V}{V_{0} } \right )$, получаем $\Delta P = - \frac{P_{0} }{V_{0} } \Delta V$, и
$\Delta Q = P_{0} \left ( \frac{5}{2} \left ( 4 - \frac{V}{V_{0} } \right ) - \frac{3}{2} \frac{V}{V_{0} } \right ) \Delta V = 2 \left ( 5 - \frac{2V}{V_{0} } \right ) P_{0} \Delta V$.
Видно, что при $V = \frac{5}{2} V_{0}$ (обозначим это состояние цифрой 5), теплота перестает подводится к газу. В состоянии 5 давление равно $P = \frac{3}{2} P_{0}$. Поэтому на участке 2-4 к газу подводится теплота на участке 2-5, а на участке 5-4 теплота от газа отводится. Количество теплоты, подводимое на участке 2-5, равно:
$Q_{24} = \frac{3}{2} (1,5P_{0} \cdot 2,5V_{0} - 3P_{0}V_{0}) + \frac{1}{2} (3P_{0} + 1,5P_{0})(2,5V_{0} - V_{0}) = 4,5P_{0}V_{0}$.
КПД цикла 1-2-4-1
$\eta_{2} = \frac{A_{2}}{Q_{12} + Q_{24} } = \frac{4}{15}$.
Как видно, КПД цикла 1-2-4-1 больше, чем КПД цикла 1-2-3-4-1 на $\frac{2}{45}$.