Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9611
2018-10-20 
Жители далекой планеты $\tau$ - Кита используют в качестве пушки устройство, которое работает на основе явления взаимодействия заряженных тел. Они вырезают из равномерно заряженного по объему шара радиусом $R$ сектор, ограниченный конусом с радиусом $r$ при его основании. Объёмная плотность заряда «пушки» равна $\rho > 0$. К закрепленному орудию подносится маленькая дробинка массой $m$ с зарядом $q > 0$, как показано на рисунке. Потом дробинку отпускают. Определите ускорение дробинки $a_{0}$ в момент сразу после ее отпускания.
Решение:
Найдем напряжённость электрического поля в точке О, которое создает равномерно заряженный по объёму сектор шара. Из симметрии по отношению к повороту следует, что вектор напряжённости электрического поля в точке О направлен вдоль оси симметрии сектора, как показано на рисунке. Найдём вклад в это поле от сферического слоя радиусом $x$ и малой толщиной $\Delta x$. Для этого выделим на поверхности этого слоя маленький элемент площадью $\Delta S_{i}$ и вычислим напряженность $E_{ \perp }^{ \prime}$, которую он создает в точке О.
Из закона Кулона и принципа суперпозиции для напряженности электрических полей следует (см. рисунок):
$E_{ \perp}^{ \prime} = \sum_{i} \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{ \rho \Delta x \Delta S_{i} }{x^{2} } \cos \beta_{i} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{ \rho \Delta x}{x^{2} } \sum_{i} \Delta S_{i} \cos \beta_{i} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{ \rho \Delta x}{x^{2} } \pi (x \sin \alpha)^{2} = \frac{ \rho \Delta x }{4 \epsilon_{0} } \sin^{2} \alpha$.
Искомая напряженность поля получается путем дальнейшего суммирования по всем слоям. Она равна
$E_{ \perp} = \sum E_{ \perp}^{ \prime} = \sum \frac{ \rho \Delta x}{4 \epsilon_{0} } \sin^{2} \alpha = \frac{ \rho \sin^{2} \alpha }{4 \epsilon_{0} } \sum \Delta x = \frac{ \rho}{ 4 \epsilon_{0} } \left ( \frac{r}{R} \right )^{2} R = \frac{ \rho r^{2} }{4 \epsilon_{0} R }$.
Отсюда находим начальное ускорение дробинки:
$a_{0} = \frac{E_{ \perp}q }{m} = \frac{ \rho qr^{2} }{4 \epsilon_{0} mR }$.
Жители далекой планеты $\tau$ - Кита используют в качестве пушки устройство, которое работает на основе явления взаимодействия заряженных тел. Они вырезают из равномерно заряженного по объему шара радиусом $R$ сектор, ограниченный конусом с радиусом $r$ при его основании. Объёмная плотность заряда «пушки» равна $\rho > 0$. К закрепленному орудию подносится маленькая дробинка массой $m$ с зарядом $q > 0$, как показано на рисунке. Потом дробинку отпускают. Определите ускорение дробинки $a_{0}$ в момент сразу после ее отпускания.
Решение:
Найдем напряжённость электрического поля в точке О, которое создает равномерно заряженный по объёму сектор шара. Из симметрии по отношению к повороту следует, что вектор напряжённости электрического поля в точке О направлен вдоль оси симметрии сектора, как показано на рисунке. Найдём вклад в это поле от сферического слоя радиусом $x$ и малой толщиной $\Delta x$. Для этого выделим на поверхности этого слоя маленький элемент площадью $\Delta S_{i}$ и вычислим напряженность $E_{ \perp }^{ \prime}$, которую он создает в точке О.
Из закона Кулона и принципа суперпозиции для напряженности электрических полей следует (см. рисунок):
$E_{ \perp}^{ \prime} = \sum_{i} \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{ \rho \Delta x \Delta S_{i} }{x^{2} } \cos \beta_{i} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{ \rho \Delta x}{x^{2} } \sum_{i} \Delta S_{i} \cos \beta_{i} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{ \rho \Delta x}{x^{2} } \pi (x \sin \alpha)^{2} = \frac{ \rho \Delta x }{4 \epsilon_{0} } \sin^{2} \alpha$.
Искомая напряженность поля получается путем дальнейшего суммирования по всем слоям. Она равна
$E_{ \perp} = \sum E_{ \perp}^{ \prime} = \sum \frac{ \rho \Delta x}{4 \epsilon_{0} } \sin^{2} \alpha = \frac{ \rho \sin^{2} \alpha }{4 \epsilon_{0} } \sum \Delta x = \frac{ \rho}{ 4 \epsilon_{0} } \left ( \frac{r}{R} \right )^{2} R = \frac{ \rho r^{2} }{4 \epsilon_{0} R }$.
Отсюда находим начальное ускорение дробинки:
$a_{0} = \frac{E_{ \perp}q }{m} = \frac{ \rho qr^{2} }{4 \epsilon_{0} mR }$.
