Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9610
2018-10-20 
Герметичный теплонепроницаемый вертикальный цилиндрический сосуд разделён массивным теплонепроницаемым горизонтальным тонким поршнем, скользящим вдоль стенок без трения. В обеих частях сосуда находится один и тот же идеальный газ. Известно, что при температуре $T$ в обеих частях сосуда поршень делит сосуд в отношении 2:1, считая от его верхнего торца. Если перевернуть сосуд и нагреть оказавшийся под поршнем газ до температуры $4T$, а температуру второй части оставить неизменной, то поршень вновь разделит сосуд в отношении 2:1, считая от верхнего торца. Чему равно отношение масс газов, разделённых поршнем?
Решение:
Пусть в первом положении сверху находится газ массой $m_{1}$, а снизу газ массой $m_{2}$. Пусть начальные давления в частях сосуда и их объёмы равны соответственно $P_{1}, P_{2}, V_{1}, V_{2}$, а конечные $P_{1}^{ \prime}, P_{2}^{ \prime}, V_{1}^{ \prime}, V_{2}^{ \prime}$. Также заметим, что разность давлений снизу и сверху постоянна и равна $\frac{mg}{S}$, то есть давлению, создаваемому поршнем площадью $S$. Запишем отношение масс газов в первом и втором случаях, следующее из уравнений Клайперона-Менделеева:
$\frac{P_{1}V_{1} }{P_{2}V_{2} } = \frac{m_{1} }{m_{2} }$,
$\frac{P_{1}^{ \prime} V_{1}^{ \prime} }{P_{2}^{ \prime} V_{2}^{ \prime} } = \frac{4m_{1} }{m_{2} }$,
Подставив в записанные выше уравнения данные в условии отношения объёмов
$\frac{V_{2} }{V_{1} } = \frac{V_{1}^{ \prime} }{V_{2}^{ \prime} } = \frac{1}{2}$,
получим:
$\frac{P_{1} }{P_{2} } = \frac{1}{2} \frac{m_{1} }{m_{2} }$,
$\frac{P_{1}^{ \prime} }{P_{2}^{ \prime} } = \frac{8m_{1} }{m_{2} }$,
Используя постоянство разности давлений, находим:
$\left( 1 - \frac{1}{2} \frac{m_{1} }{m_{2} } \right ) P_{2} = \left ( 8 \frac{m_{1} }{m_{2} } - 1 \right ) P_{2}^{ \prime}$.
Отношение $P_{2}/P_{2}^{ \prime}$ найдём из закона Бойля-Мариотта для газа в той части сосуда, в которой температура постоянна:
$\frac{P_{2} }{P_{2}^{ \prime} } = \frac{V_{2}^{ \prime} }{V_{2} } = 2$.
В итоге:
$\frac{m_{1} }{m_{2} } = \frac{1}{3}$.
Герметичный теплонепроницаемый вертикальный цилиндрический сосуд разделён массивным теплонепроницаемым горизонтальным тонким поршнем, скользящим вдоль стенок без трения. В обеих частях сосуда находится один и тот же идеальный газ. Известно, что при температуре $T$ в обеих частях сосуда поршень делит сосуд в отношении 2:1, считая от его верхнего торца. Если перевернуть сосуд и нагреть оказавшийся под поршнем газ до температуры $4T$, а температуру второй части оставить неизменной, то поршень вновь разделит сосуд в отношении 2:1, считая от верхнего торца. Чему равно отношение масс газов, разделённых поршнем?
Решение:
Пусть в первом положении сверху находится газ массой $m_{1}$, а снизу газ массой $m_{2}$. Пусть начальные давления в частях сосуда и их объёмы равны соответственно $P_{1}, P_{2}, V_{1}, V_{2}$, а конечные $P_{1}^{ \prime}, P_{2}^{ \prime}, V_{1}^{ \prime}, V_{2}^{ \prime}$. Также заметим, что разность давлений снизу и сверху постоянна и равна $\frac{mg}{S}$, то есть давлению, создаваемому поршнем площадью $S$. Запишем отношение масс газов в первом и втором случаях, следующее из уравнений Клайперона-Менделеева:
$\frac{P_{1}V_{1} }{P_{2}V_{2} } = \frac{m_{1} }{m_{2} }$,
$\frac{P_{1}^{ \prime} V_{1}^{ \prime} }{P_{2}^{ \prime} V_{2}^{ \prime} } = \frac{4m_{1} }{m_{2} }$,
Подставив в записанные выше уравнения данные в условии отношения объёмов
$\frac{V_{2} }{V_{1} } = \frac{V_{1}^{ \prime} }{V_{2}^{ \prime} } = \frac{1}{2}$,
получим:
$\frac{P_{1} }{P_{2} } = \frac{1}{2} \frac{m_{1} }{m_{2} }$,
$\frac{P_{1}^{ \prime} }{P_{2}^{ \prime} } = \frac{8m_{1} }{m_{2} }$,
Используя постоянство разности давлений, находим:
$\left( 1 - \frac{1}{2} \frac{m_{1} }{m_{2} } \right ) P_{2} = \left ( 8 \frac{m_{1} }{m_{2} } - 1 \right ) P_{2}^{ \prime}$.
Отношение $P_{2}/P_{2}^{ \prime}$ найдём из закона Бойля-Мариотта для газа в той части сосуда, в которой температура постоянна:
$\frac{P_{2} }{P_{2}^{ \prime} } = \frac{V_{2}^{ \prime} }{V_{2} } = 2$.
В итоге:
$\frac{m_{1} }{m_{2} } = \frac{1}{3}$.
