2016-09-17
Витую пружину с начальной длиной $l$, жёсткостью $k$ и массой $m$ свернули в кольцо и соединили концы. После этого её раскрутили с угловой
скоростью $\omega$ вокруг оси, проходящей через центр кольца перпендикулярно его плоскости. Найдите радиус кольца $R$ как функцию $\omega$. Диаметр витков пружины много меньше её длины.
Решение:
Каждый маленький элемент кольца, изготовленного из пружины и имеющего радиус $R$, при угловой скорости вращения $\omega$ движется с центростремительным ускорением $a = \omega^{2}R$. Если обозначить через $\Delta \alpha$ угол между радиусами, проведёнными от оси вращения к концам этого элемента (см. рис. ), то его масса будет равна $\frac{m}{ 2 \pi} \Delta \alpha$. Действующая на рассматриваемый элемент центростремительная сила $\Delta F = T \Delta \alpha$ обеспечивается силой натяжения пружины $T = k(2 \pi R — l)$ (для удобства нахождения $\Delta F$ на рисунке совмещены начала векторов $T$). Таким образом, уравнение движения для данного элемента пружины имеет вид: $\frac{m}{2 \pi} \Delta \alpha \omega^{2} R = k(2 \pi R — l) \Delta \alpha$, откуда
$R = \frac{l}{2 \pi - \frac{m \omega^{2}}{2 \pi k}}$.
Таким образом, с увеличением $\omega$ радиус кольца $R$ растёт, стремясь «к бесконечности» при критической угловой скорости $\omega_{0} = 2 \pi \sqrt{k / m}$, когда пружина или растягивается до предела её упругости, или рвётся.