2016-09-17
Зависимость силы натяжения $F$ от удлинения $x$ для лёгкого резинового шнура с начальной длиной $l_{0} = 20 см$ показана на рисунке. К одному из концов шнура прикрепляют маленький шарик массой $m = 500 г$, другой конец прикрепляют к вертикальной оси, и затем весь шнур с шариком на конце помещают в горизонтальную гладкую трубку, прикреплённую к той же оси. Систему начинают медленно раскручивать вокруг этой оси. При каком значении угловой скорости $\omega_{0}$ шнур разорвётся?
Решение:
Условие равновесия шарика имеет вид $F = m \omega^{2}(x + l_{0})$. Это уравнение можно решить графически (см. рис.). Для этого надо провести прямую линию $F(x) = m \omega^{2}(x + l_{0})$ из точки, расположенной на оси $x$ слева от начала отсчёта на расстоянии $l_{0}$. Наклон этой прямой, то есть угловой коэффициент $m \omega^{2}$, растёт с ростом угловой скорости $\omega$, а точки пересечения прямой с графиком зависимости силы натяжения $F$ от удлинения $x$ резинового шнура дают те значения $x$, которые соответствуют равновесию шарика. Это равновесие устойчиво, пока кривая зависимости силы натяжения от удлинения в точке пересечения с прямой $F(x)$ идёт круче этой прямой — тогда при отклонении шарика от равновесного положения возникает суммарная сила, возвращающая его обратно.
Видно, что по мере роста угловой скорости точка равновесия шарика смещается всё дальше от оси вращения. Ясно, что предельной угловой скорости $\omega_{0}$ соответствует либо крайняя жирная точка на кривой, соответствующая предельной силе натяжения, которую может выдержать шнур, либо точка касания прямой $F(x)$ и графика, если она имеется. Действительно, при отклонении шарика от положения равновесия, соответствующего этой последней точке, возвращающей силы уже не возникает, шнур растягивается до предела и рвётся.
Из нашего построения видно, что касательная к графику существует, и для её углового коэффициента получаем:
$m \omega_{0}^{2} \approx \frac{80 Н}{0,2 м} =400 Н/м$,
откуда при данной в условии задачи массе шарика $m = 0,5 кг$ получаем $\omega_{0} \approx \sqrt{800 с^{-2}} \approx 28 рад/с$. При более высоких угловых скоростях шнур не сможет удержать шарик и разорвётся.