Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9594
2018-10-20 
На двух бесконечных параллельных спицах покоятся $N$ разноимённо заряженные маленькие бусинки массой $m_{1}$ и $m_{2}$. Энергия их электростатического взаимодействия равна ($- U_{0}$). Бусинке массы $m_{1}$ сообщают такую начальную скорость, что она уходит от второй бусинки на бесконечность. Какую максимальную скорость при этом может приобрести вторая бусинка? Трения нет.
Решение:
Рассмотрим движение бусинок в системе отсчёта, связанной с их центром масс. Разобьём путь, пройденный 2-й бусинкой относительно центра масс, на малые отрезки $\Delta x_{1} , \Delta x_{2} , \Delta x_{3} , \cdots $ Пусть $\Delta v_{n}$ - изменение скорости 2-й бусинки при прохождении п-го отрезка. Согласно 2-му закону Ньютона,
$\Delta v_{n} = \frac{F_{x,n} }{m_{2} } \Delta t_{n} = \frac{F_{x,n} }{m_{2} } \frac{ \Delta x_{n} }{|v_{n} | }$ (1)
где $F_{x,n}$ - горизонтальная составляющая силы притяжения к 1-й бусинке, $\Delta t_{n}$ - время прохождения 2-й бусинкой участка $\Delta x_{n}$, a $v_{n}$ - её скорость в это время (относительно центра масс).
Ограничимся рассмотрением случая, когда бусинки расходятся на бесконечность относительно друг друга. Скорость $|v_{n} |$ будет тем меньше, чем меньше начальные (а значит, и конечные) скорости бусинок. Минимальное значение $| v_{n} |$ достигается, если скорости бусинок на бесконечном удалении друг от друга обращаются в ноль. В то же время величина $F_{x,n}$ не зависит от скоростей бусинок, т. к. определяется только их расположением относительно центра масс. Поэтому, согласно (1), изменение скорости $\Delta v_{n}$ оказывается максимальным в том случае, когда скорости бусинок относительно центра масс обращаются в ноль на бесконечности.
Суммарное изменение скорости 2-й бусинки,
$\Delta v_{1} + \Delta v_{2} + \Delta v_{3} + \cdots,$ (2)
равно разности между её конечной и начальной скоростью. Эта разность не зависит от выбора системы отсчёта. В лабораторной системе отсчёта начальная скорость 2-й бусинки равна нулю, а значит, её конечная скорость равна сумме (2). Если конечные скорости обеих бусинок одинаковы (т. е. конечные скорости относительно центра масс равны нулю), то каждое слагаемое в (2) максимально, согласно приведённому выше рассмотрению.
Итак, максимальную скорость 2-я бусинка приобретает в том случае, когда конечные скорости обеих бусинок одинаковы.
Обозначим эти одинаковые скорости буквой $v$ и запишем законы сохранения энергии и импульса в лабораторной системе отсчёта:
$\frac{m_{1}v_{0}^{2} }{2} - U_{0} = \frac{m_{1}v^{2} }{2} + \frac{m_{2}v^{2} }{2}$, (3)
$m_{1}v_{0} = m_{1}v + m_{2}v$, (4)
где $v_{0}$ - начальная скорость первой бусинки. Выразив её из уравнения (4) и подставим в (3), найдем
Ответ: $v = \sqrt{ \frac{2m_{1}U_{0} }{(m_{1} + m_{2} )m_{2} } }$.
На двух бесконечных параллельных спицах покоятся $N$ разноимённо заряженные маленькие бусинки массой $m_{1}$ и $m_{2}$. Энергия их электростатического взаимодействия равна ($- U_{0}$). Бусинке массы $m_{1}$ сообщают такую начальную скорость, что она уходит от второй бусинки на бесконечность. Какую максимальную скорость при этом может приобрести вторая бусинка? Трения нет.
Решение:
Рассмотрим движение бусинок в системе отсчёта, связанной с их центром масс. Разобьём путь, пройденный 2-й бусинкой относительно центра масс, на малые отрезки $\Delta x_{1} , \Delta x_{2} , \Delta x_{3} , \cdots $ Пусть $\Delta v_{n}$ - изменение скорости 2-й бусинки при прохождении п-го отрезка. Согласно 2-му закону Ньютона,
$\Delta v_{n} = \frac{F_{x,n} }{m_{2} } \Delta t_{n} = \frac{F_{x,n} }{m_{2} } \frac{ \Delta x_{n} }{|v_{n} | }$ (1)
где $F_{x,n}$ - горизонтальная составляющая силы притяжения к 1-й бусинке, $\Delta t_{n}$ - время прохождения 2-й бусинкой участка $\Delta x_{n}$, a $v_{n}$ - её скорость в это время (относительно центра масс).
Ограничимся рассмотрением случая, когда бусинки расходятся на бесконечность относительно друг друга. Скорость $|v_{n} |$ будет тем меньше, чем меньше начальные (а значит, и конечные) скорости бусинок. Минимальное значение $| v_{n} |$ достигается, если скорости бусинок на бесконечном удалении друг от друга обращаются в ноль. В то же время величина $F_{x,n}$ не зависит от скоростей бусинок, т. к. определяется только их расположением относительно центра масс. Поэтому, согласно (1), изменение скорости $\Delta v_{n}$ оказывается максимальным в том случае, когда скорости бусинок относительно центра масс обращаются в ноль на бесконечности.
Суммарное изменение скорости 2-й бусинки,
$\Delta v_{1} + \Delta v_{2} + \Delta v_{3} + \cdots,$ (2)
равно разности между её конечной и начальной скоростью. Эта разность не зависит от выбора системы отсчёта. В лабораторной системе отсчёта начальная скорость 2-й бусинки равна нулю, а значит, её конечная скорость равна сумме (2). Если конечные скорости обеих бусинок одинаковы (т. е. конечные скорости относительно центра масс равны нулю), то каждое слагаемое в (2) максимально, согласно приведённому выше рассмотрению.
Итак, максимальную скорость 2-я бусинка приобретает в том случае, когда конечные скорости обеих бусинок одинаковы.
Обозначим эти одинаковые скорости буквой $v$ и запишем законы сохранения энергии и импульса в лабораторной системе отсчёта:
$\frac{m_{1}v_{0}^{2} }{2} - U_{0} = \frac{m_{1}v^{2} }{2} + \frac{m_{2}v^{2} }{2}$, (3)
$m_{1}v_{0} = m_{1}v + m_{2}v$, (4)
где $v_{0}$ - начальная скорость первой бусинки. Выразив её из уравнения (4) и подставим в (3), найдем
Ответ: $v = \sqrt{ \frac{2m_{1}U_{0} }{(m_{1} + m_{2} )m_{2} } }$.
