Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9593
2018-10-20 
Юпитер совершает оборот вокруг Солнца за 4300 суток. Ганимед (спутник Юпитера) совершает оборот вокруг Юпитера за 7,2 суток. Максимальный угол Юпитер-Солнце-Ганимед ($\alpha_{max}$) равен 0,0014 радиан. Определите по > этим данным, во сколько раз масса Солнца больше массы \ Юпитера. Все орбиты считать круговыми.
Решение:
Согласно закону всемирного тяготения, сила притяжения $F_{ЮС}$ Юпитера к Солнцу равна
$F_{ЮС} = G \frac{M_{Ю}M_{С} }{R_{ЮС}^{2} }$, (1)
где $G$ - гравитационная постоянная, $M_{Ю}$ и $M_{С}$ - массы Юпитера и Солнца, $R_{ЮС}$ - расстояние Юпитер—Солнце. По второму закону Ньютона, эта сила равна произведению массы Юпитера на его центростремительное ускорение:
$F_{ЮС} = M_{Ю} \frac{v_{Ю}^{2} }{R_{ЮС} } $ (2)
где $v_{Ю}$ - скорость движения Юпитера относительно Солнца. Выразим из (1) и (2) массу Солнца:
$M_{С} = \frac{v_{Ю}^{2}R_{ЮС} }{G}$. (3)
Таким же способом можно выразить массу Юпитера через параметры орбиты Ганимеда — расстояние $R_{ГЮ}$ между Ганимедом и Юпитером и скорость $v_{Г}$ движения Ганимеда относительно Юпитера:
$M_{Ю} = \frac{v_{Г}^{2}R_{ГЮ} }{G}$. (4)
Разделим (3) на (4):
$\frac{M_{С} }{M_{Ю} } = \left ( \frac{v_{Ю} }{v_{Г} } \right )^{2} \frac{R_{ЮС} }{R_{ГЮ} }$. (5)
Так как скорость движения по окружности равна $2 \pi R/T$ ($R$ - радиус орбиты, $T$ - период обращения), то
$\frac{v_{Ю} }{v_{Г} } = \frac{R_{ЮС} / T_{Ю} }{R_{ГЮ} /T_{Г} }$ (6)
где $T_{Ю}$ и $T_{Г}$ - периоды обращения Юпитера и Ганимеда. Отношение радиусов орбит равно максимальному углу Юпитер-Солнце-Ганимед $\alpha_{max}$:
$\frac{R_{ГЮ} }{R_{ЮС} } = \alpha_{max}$. (7)
Подставив (6) и (7) в (5), найдём искомое выражение для отношения масс $M_{С} /M_{Ю}$:
$\frac{M_{С} }{M_{Ю} } = \left ( \frac{T_{Г} }{T_{Ю} } \right )^{2} \frac{1}{ \alpha_{max}^{3} }$.
Подставив числовые значения $T_{Г} = 7,2 сут., T_{Ю} =4300 сут., \alpha_{max} = 0,0014$, найдём: $M_{С} /M_{Ю} \approx 1000$.
Ответ: масса Солнца больше массы Юпитера в $\approx$ 1000 раз.
Юпитер совершает оборот вокруг Солнца за 4300 суток. Ганимед (спутник Юпитера) совершает оборот вокруг Юпитера за 7,2 суток. Максимальный угол Юпитер-Солнце-Ганимед ($\alpha_{max}$) равен 0,0014 радиан. Определите по > этим данным, во сколько раз масса Солнца больше массы \ Юпитера. Все орбиты считать круговыми.
Решение:
Согласно закону всемирного тяготения, сила притяжения $F_{ЮС}$ Юпитера к Солнцу равна
$F_{ЮС} = G \frac{M_{Ю}M_{С} }{R_{ЮС}^{2} }$, (1)
где $G$ - гравитационная постоянная, $M_{Ю}$ и $M_{С}$ - массы Юпитера и Солнца, $R_{ЮС}$ - расстояние Юпитер—Солнце. По второму закону Ньютона, эта сила равна произведению массы Юпитера на его центростремительное ускорение:
$F_{ЮС} = M_{Ю} \frac{v_{Ю}^{2} }{R_{ЮС} } $ (2)
где $v_{Ю}$ - скорость движения Юпитера относительно Солнца. Выразим из (1) и (2) массу Солнца:
$M_{С} = \frac{v_{Ю}^{2}R_{ЮС} }{G}$. (3)
Таким же способом можно выразить массу Юпитера через параметры орбиты Ганимеда — расстояние $R_{ГЮ}$ между Ганимедом и Юпитером и скорость $v_{Г}$ движения Ганимеда относительно Юпитера:
$M_{Ю} = \frac{v_{Г}^{2}R_{ГЮ} }{G}$. (4)
Разделим (3) на (4):
$\frac{M_{С} }{M_{Ю} } = \left ( \frac{v_{Ю} }{v_{Г} } \right )^{2} \frac{R_{ЮС} }{R_{ГЮ} }$. (5)
Так как скорость движения по окружности равна $2 \pi R/T$ ($R$ - радиус орбиты, $T$ - период обращения), то
$\frac{v_{Ю} }{v_{Г} } = \frac{R_{ЮС} / T_{Ю} }{R_{ГЮ} /T_{Г} }$ (6)
где $T_{Ю}$ и $T_{Г}$ - периоды обращения Юпитера и Ганимеда. Отношение радиусов орбит равно максимальному углу Юпитер-Солнце-Ганимед $\alpha_{max}$:
$\frac{R_{ГЮ} }{R_{ЮС} } = \alpha_{max}$. (7)
Подставив (6) и (7) в (5), найдём искомое выражение для отношения масс $M_{С} /M_{Ю}$:
$\frac{M_{С} }{M_{Ю} } = \left ( \frac{T_{Г} }{T_{Ю} } \right )^{2} \frac{1}{ \alpha_{max}^{3} }$.
Подставив числовые значения $T_{Г} = 7,2 сут., T_{Ю} =4300 сут., \alpha_{max} = 0,0014$, найдём: $M_{С} /M_{Ю} \approx 1000$.
Ответ: масса Солнца больше массы Юпитера в $\approx$ 1000 раз.
