Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9590
2018-10-20 
Чернильница представляет собой фигуру вращения, сечение которой изображено на рисунке. Какой объем чернил можно в неё налить? Радиусы внешней и внутренней цилиндрических поверхностей равны $R$ и $r$ соответственно. Чернильница стоит вертикально, наполняют её медленно. Плотность чернил $\rho$, ускорение свободного падения $g$ атмосферное давление $P_{0}$, высота чернильницы $H$. Зазор снизу между дном и внутренним цилиндром незначительный. Толщиной стенок пренебречь.
Решение:
Так как чернила наливают медленно, то температуру воздуха в чернильнице можно считать постоянной. Когда начинают наливать чернила, воздух в промежутке между цилиндрами начинает сжиматься, а его давление увеличиваться в соответствии с законом Бойля — Мариотта:
$P_{0}HS = P(H - h)S$, (1)
где $S = \pi (R^{2} - r^{2})$, $h$ - высота столба жидкости, находящейся между цилиндрами, а $P$ - давление воздуха, находящегося между цилиндрами после того, как налили чернила. Это давление уравновешивается столбом жидкости, находящейся во внутреннем цилиндре:
$P = P_{0} + \rho gS(H - h)$. (2)
Сравнивая (1) и (2), найдём:
$P_{0} \frac{H}{H - h} = \rho g (H - h) + P_{)}$. (3)
Решая (3) относительно $h$ найдём:
$h = H + \frac{P_{0} }{2 \rho g} \pm \sqrt{ \frac{P_{0} }{ \rho g} \left ( H + \frac{P_{0} }{4 \rho g} \right ) }$. (4)
Учитывая, что $h < H$, выбираем знак "-". Теперь, вычислив объём, получим
Ответ: $V = \pi r^{2}H + \pi(R^{2} - r^{2}) \left ( H + \frac{P_{0} }{2 \rho g} \sqrt{ \frac{P_{0} }{ \rho g} \left ( H + \frac{P_{0} }{4 \rho g} \right ) } \right )$.
Чернильница представляет собой фигуру вращения, сечение которой изображено на рисунке. Какой объем чернил можно в неё налить? Радиусы внешней и внутренней цилиндрических поверхностей равны $R$ и $r$ соответственно. Чернильница стоит вертикально, наполняют её медленно. Плотность чернил $\rho$, ускорение свободного падения $g$ атмосферное давление $P_{0}$, высота чернильницы $H$. Зазор снизу между дном и внутренним цилиндром незначительный. Толщиной стенок пренебречь.
Решение:
Так как чернила наливают медленно, то температуру воздуха в чернильнице можно считать постоянной. Когда начинают наливать чернила, воздух в промежутке между цилиндрами начинает сжиматься, а его давление увеличиваться в соответствии с законом Бойля — Мариотта:
$P_{0}HS = P(H - h)S$, (1)
где $S = \pi (R^{2} - r^{2})$, $h$ - высота столба жидкости, находящейся между цилиндрами, а $P$ - давление воздуха, находящегося между цилиндрами после того, как налили чернила. Это давление уравновешивается столбом жидкости, находящейся во внутреннем цилиндре:
$P = P_{0} + \rho gS(H - h)$. (2)
Сравнивая (1) и (2), найдём:
$P_{0} \frac{H}{H - h} = \rho g (H - h) + P_{)}$. (3)
Решая (3) относительно $h$ найдём:
$h = H + \frac{P_{0} }{2 \rho g} \pm \sqrt{ \frac{P_{0} }{ \rho g} \left ( H + \frac{P_{0} }{4 \rho g} \right ) }$. (4)
Учитывая, что $h < H$, выбираем знак "-". Теперь, вычислив объём, получим
Ответ: $V = \pi r^{2}H + \pi(R^{2} - r^{2}) \left ( H + \frac{P_{0} }{2 \rho g} \sqrt{ \frac{P_{0} }{ \rho g} \left ( H + \frac{P_{0} }{4 \rho g} \right ) } \right )$.
