Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9585
2018-10-20 
Трамплин имеет прямой угол при вершине и угол $\alpha = 60^{ \circ}$ справа при основании. Какую минимальную скорость на вершине трамплина нужно иметь мотоциклисту, чтобы он после отрыва не опустился на его правый склон? Основание трамплина имеет размер $a$. Влиянием воздуха пренебречь.
Решение:
Пусть $v_{0}$ - искомая скорость. Найдём её горизонтальную $v_{0г}$ и вертикальную $v_{0B}$ составляющие:
$v_{0г} = v_{0} \sin \alpha = \frac{v_{0} \sqrt{3} }{2}$, (1)
$v_{0B} = v_{0} \cos \alpha = \frac{v_{0}}{2}$, (2)
Найдём расстояние по горизонтали $l_{г}$ и по вертикали $l_{B}$ между вершиной трамплина О и нижней точкой правого склона А:
$|OA| = a \cos \alpha = a/2$,
$l_{г} = |OA| \cos \alpha = |OA| \frac{1}{2} = \frac{a}{4}$, (3)
$l_{B} = |OA| \sin \alpha = |OA| \frac{ \sqrt{3} }{2} = \frac{a \sqrt{3} }{4}$, (4)
Так как $v_{0}$ - минимальная скорость, при которой мотоциклист не попадает на правый склон, то он, при движении с начальной скоростью $v_{0}$, приземлится в точке А. Движение мотоциклиста из О в А — равномерное по горизонтали (со скоростью $v_{0г}$) и равноускоренное по вертикали (с ускорением $- g$ и начальной скоростью $v_{0B}$). Пусть $t$ - время полёта мотоциклиста из О в А. Запишем выражения для перемещений мотоциклиста за время t по горизонтали и по вертикали, и приравняем их к $l_{г}$ и $l_{B}$, соответственно:
$v_{0г}t = l_{г}$, (5)
$v_{0B}t - \frac{gt^{2} }{2} = - l_{B}$ (6)
Выразим $t$ из уравнения (5) с учётом (1) и (3):
$t = \frac{l_{г} }{v_{0г} } = \frac{a}{2v_{0} \sqrt{3} }$.
Подставив в (6) полученное выражение для $t$, а также выражения (2) и (4) для $v_{0B}$ и $l_{B}$, получим уравнение для $v_{0}$:
$\frac{v_{0}}{2} \frac{a}{2v_{0} \sqrt{3} } - \frac{g}{2} \frac{a^{2} }{12v_{0}^{2} } = - \frac{a \sqrt{3} }{4}$.
Отсюда находим:
Ответ: $v_{0} = \sqrt{ \frac{ga}{8 \sqrt{3} } }$.
Трамплин имеет прямой угол при вершине и угол $\alpha = 60^{ \circ}$ справа при основании. Какую минимальную скорость на вершине трамплина нужно иметь мотоциклисту, чтобы он после отрыва не опустился на его правый склон? Основание трамплина имеет размер $a$. Влиянием воздуха пренебречь.
Решение:
Пусть $v_{0}$ - искомая скорость. Найдём её горизонтальную $v_{0г}$ и вертикальную $v_{0B}$ составляющие:
$v_{0г} = v_{0} \sin \alpha = \frac{v_{0} \sqrt{3} }{2}$, (1)
$v_{0B} = v_{0} \cos \alpha = \frac{v_{0}}{2}$, (2)
Найдём расстояние по горизонтали $l_{г}$ и по вертикали $l_{B}$ между вершиной трамплина О и нижней точкой правого склона А:
$|OA| = a \cos \alpha = a/2$,
$l_{г} = |OA| \cos \alpha = |OA| \frac{1}{2} = \frac{a}{4}$, (3)
$l_{B} = |OA| \sin \alpha = |OA| \frac{ \sqrt{3} }{2} = \frac{a \sqrt{3} }{4}$, (4)
Так как $v_{0}$ - минимальная скорость, при которой мотоциклист не попадает на правый склон, то он, при движении с начальной скоростью $v_{0}$, приземлится в точке А. Движение мотоциклиста из О в А — равномерное по горизонтали (со скоростью $v_{0г}$) и равноускоренное по вертикали (с ускорением $- g$ и начальной скоростью $v_{0B}$). Пусть $t$ - время полёта мотоциклиста из О в А. Запишем выражения для перемещений мотоциклиста за время t по горизонтали и по вертикали, и приравняем их к $l_{г}$ и $l_{B}$, соответственно:
$v_{0г}t = l_{г}$, (5)
$v_{0B}t - \frac{gt^{2} }{2} = - l_{B}$ (6)
Выразим $t$ из уравнения (5) с учётом (1) и (3):
$t = \frac{l_{г} }{v_{0г} } = \frac{a}{2v_{0} \sqrt{3} }$.
Подставив в (6) полученное выражение для $t$, а также выражения (2) и (4) для $v_{0B}$ и $l_{B}$, получим уравнение для $v_{0}$:
$\frac{v_{0}}{2} \frac{a}{2v_{0} \sqrt{3} } - \frac{g}{2} \frac{a^{2} }{12v_{0}^{2} } = - \frac{a \sqrt{3} }{4}$.
Отсюда находим:
Ответ: $v_{0} = \sqrt{ \frac{ga}{8 \sqrt{3} } }$.
