Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9567
2018-10-20 
Один конец упругой металлической линейки зажат между тяжёлыми грузами, другой — свободный. Сверху на линейку равномерно по всей её длине насыпана гречневая крупа. Свободный конец линейки отгибают вниз и затем отпускают. Часть крупы слетает с линейки. Однако при этом возникает граница, левее которой почти вся крупа слетела, а правее — осталась на месте. Объясните наблюдаемое явление.
Решение:
Крупинка отрывается от поверхности линейки в тот момент, когда ускорение $a$ участка линейки под ней становится равным ускорению свободного падения $g$.
Таким образом, условие того, что крупинка останется лежать на линейке, имеет вид
$a_{max} < g$, (1)
где $a_{max}$ - максимальное значение (в процессе колебаний) ускорения участка линейки под крупинкой. На той части линейки, где условие (1) выполнено, крупа остаётся на месте. Там же, где условие (1) нарушается, крупинки «подпрыгивают», отрываясь от линейки, и через некоторое число периодов колебаний покидают линейку.
Рассмотрим, как $a_{max}$ меняется вдоль линейки. Каждая точка линейки совершает синусоидальные колебания
$y(t) = A \sin (\omega t)$, (2)
где $y$ - отклонение по вертикали от равновесного положения линейки; $t$ - время; $A$ - амплитуда (разная для разных точек линейки), $\omega = 2 \pi/ T$ - частота (одна и та же для всей линейки; $T$ - период колебаний). Из уравнения (2) видно, что колебания разных точек линейки подобны — единственное различие между ними состоит в разной величине множителя $A$. Поэтому и скорости разных точек линейки (производные $y$ по времени $t$), и их ускорения (вторые производные $y$ по $t$) будут отличаться друг от друга только значением множителя $A$. Следовательно, максимальная скорость $v_{max}$ и максимальное ускорение $a_{max}$ в каждой точке линейки пропорционально амплитуде $A$ колебаний этой точки:
$v_{max} \sim A$, (3)
$a_{max} \sim A$. (4)
(Соотношения (3) и (4) можно обосновать также, вычислив первую и вторую производные выражения (2) и получив в результате $v_{max} = \omega A, a_{max} = \omega^{2}A$.)
Направим ось $x$ вдоль линейки, выбрав начало отсчёта в месте её закрепления. Амплитуда колебаний $A$ увеличивается с ростом $x$ (т. е. с удалением от места закрепления линейки), как показано на графике сплошной линией. (Эта линия отображает форму линейки в момент её наибольшего отклонения от равновесного положения.) Согласно (3) и (4), зависимости $v_{max}$ и $a_{max}$ от координаты х можно изобразить этой же линией при подходящем выборе масштабов скорости и ускорения на графике. Проведя горизонтальную черту, соответствующую ускорению $g$, можно убедиться, что
$a_{max} < g$ при $x < x^{*}$, и $a_{max} > g$ при $x > x^{*}$,
где $x^{*}$ - значение координаты $x$, при котором $a_{max} = g$. С учётом условия (1), это означает, что $x^{*}$ задаёт границу, с одной стороны от которой ($x > x^{*}$) крупа падает с линейки, а с другой ($x < x^{*}$) - остаётся лежать на линейке.
Также из графика видно, что при большем размахе колебаний линейки (пунктирная линия на графике) граница $x^{*}$ смещается ближе к месту закрепления линейки.
Один конец упругой металлической линейки зажат между тяжёлыми грузами, другой — свободный. Сверху на линейку равномерно по всей её длине насыпана гречневая крупа. Свободный конец линейки отгибают вниз и затем отпускают. Часть крупы слетает с линейки. Однако при этом возникает граница, левее которой почти вся крупа слетела, а правее — осталась на месте. Объясните наблюдаемое явление.
Решение:
Крупинка отрывается от поверхности линейки в тот момент, когда ускорение $a$ участка линейки под ней становится равным ускорению свободного падения $g$.
Таким образом, условие того, что крупинка останется лежать на линейке, имеет вид
$a_{max} < g$, (1)
где $a_{max}$ - максимальное значение (в процессе колебаний) ускорения участка линейки под крупинкой. На той части линейки, где условие (1) выполнено, крупа остаётся на месте. Там же, где условие (1) нарушается, крупинки «подпрыгивают», отрываясь от линейки, и через некоторое число периодов колебаний покидают линейку.
Рассмотрим, как $a_{max}$ меняется вдоль линейки. Каждая точка линейки совершает синусоидальные колебания
$y(t) = A \sin (\omega t)$, (2)
где $y$ - отклонение по вертикали от равновесного положения линейки; $t$ - время; $A$ - амплитуда (разная для разных точек линейки), $\omega = 2 \pi/ T$ - частота (одна и та же для всей линейки; $T$ - период колебаний). Из уравнения (2) видно, что колебания разных точек линейки подобны — единственное различие между ними состоит в разной величине множителя $A$. Поэтому и скорости разных точек линейки (производные $y$ по времени $t$), и их ускорения (вторые производные $y$ по $t$) будут отличаться друг от друга только значением множителя $A$. Следовательно, максимальная скорость $v_{max}$ и максимальное ускорение $a_{max}$ в каждой точке линейки пропорционально амплитуде $A$ колебаний этой точки:
$v_{max} \sim A$, (3)
$a_{max} \sim A$. (4)
(Соотношения (3) и (4) можно обосновать также, вычислив первую и вторую производные выражения (2) и получив в результате $v_{max} = \omega A, a_{max} = \omega^{2}A$.)
Направим ось $x$ вдоль линейки, выбрав начало отсчёта в месте её закрепления. Амплитуда колебаний $A$ увеличивается с ростом $x$ (т. е. с удалением от места закрепления линейки), как показано на графике сплошной линией. (Эта линия отображает форму линейки в момент её наибольшего отклонения от равновесного положения.) Согласно (3) и (4), зависимости $v_{max}$ и $a_{max}$ от координаты х можно изобразить этой же линией при подходящем выборе масштабов скорости и ускорения на графике. Проведя горизонтальную черту, соответствующую ускорению $g$, можно убедиться, что
$a_{max} < g$ при $x < x^{*}$, и $a_{max} > g$ при $x > x^{*}$,
где $x^{*}$ - значение координаты $x$, при котором $a_{max} = g$. С учётом условия (1), это означает, что $x^{*}$ задаёт границу, с одной стороны от которой ($x > x^{*}$) крупа падает с линейки, а с другой ($x < x^{*}$) - остаётся лежать на линейке.
Также из графика видно, что при большем размахе колебаний линейки (пунктирная линия на графике) граница $x^{*}$ смещается ближе к месту закрепления линейки.
