Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9564
2018-10-20 
Три одинаковые вертикально стоящие замкнутые цилиндрические цистерны соединены последовательно гибкими шлангами на середине высоты и снабжены клапанами для выпуска воздуха. Рабочий начал медленно подавать воду в крайнюю правую цистерну, предварительно открыв её воздушный клапан. Клапаны двух других цистерн остались закрытыми, так что воздух из них не выходил. К моменту, когда крайняя правая цистерна оказалась полностью наполненной, левая оказалась наполненной на 3/11 своего объёма. Какая доля объёма средней цистерны заполнилась водой? Объёмом соединительных шлангов пренебречь.
Решение:
При наливе цистерны можно выделить три состояния, изображённых на рисунке. При переходе (а) —> (б) воздух в левой и средней цистернах изотермически сжимался. Запишем закон Бойля - Мариотта для этого процесса:
$P_{0}2V = P \left ( V + \frac{V}{2} \right )$, (1)
где $P_{0}$ - атмосферное давление, $V$ - объём одной цистерны, $P$ - давление сжатого воздуха в состоянии (б).
При переходе (б) —> (в) воздух в левой и средней цистернах независимо изотермически сжимался. Запишем закон Бойля - Мариотта для воздуха в левой цистерне:
$PV = P_{1} \left ( 1 - \frac{3}{11} \right )V$ (2)
и в средней цистерне:
$P \frac{V}{2} = P_{2}(1 - x)V$, (3)
где $x$ - искомая доля объёма средней цистерны, заполненная водой.
В состоянии равновесия (в) давления на концах шлангов равны между собой:
$P_{1} = P_{2} + \rho g \left ( x - \frac{1}{2} \right ) H = P_{0} + \rho g \frac{H}{2}$, (4)
где $H$ - высота цистерн, $\rho$ - плотность воды.
Из (1) находим $P = \frac{4}{3} P_{0}$ и подставив в (2) и (3), выразим из них $P_{1}$ и $P_{2}$:
$P_{1} = \frac{11}{6}P_{0}; P_{2} = \frac{2}{3(1 - x)}P_{0}$.
Подставим найденные выражения в (4):
$\frac{11}{6} P_{0} = \frac{2}{3(1 - x) } P_{0} + \rho \left ( x - \frac{1}{2} \right ) H = P_{0} + \rho g \frac{H}{2}$.
Сравнивая левую и правую часть этого равенства, находим:
$\frac{11}{6} P_{0} = \frac{2}{3(1 - x) } P_{0} + \left ( x - \frac{1}{2} \right ) \frac{5}{3} P_{0}$.
Сократив $P_{0}$, получаем квадратное уравнение относительно $x$:
$5x^{2} - 13 x + 6 = 0$,
которое имеет два решения $x = 3/5$ и $x = 2$. Второе решение, очевидно, не подходит, т.к. оно больше 1.
Три одинаковые вертикально стоящие замкнутые цилиндрические цистерны соединены последовательно гибкими шлангами на середине высоты и снабжены клапанами для выпуска воздуха. Рабочий начал медленно подавать воду в крайнюю правую цистерну, предварительно открыв её воздушный клапан. Клапаны двух других цистерн остались закрытыми, так что воздух из них не выходил. К моменту, когда крайняя правая цистерна оказалась полностью наполненной, левая оказалась наполненной на 3/11 своего объёма. Какая доля объёма средней цистерны заполнилась водой? Объёмом соединительных шлангов пренебречь.
Решение:
При наливе цистерны можно выделить три состояния, изображённых на рисунке. При переходе (а) —> (б) воздух в левой и средней цистернах изотермически сжимался. Запишем закон Бойля - Мариотта для этого процесса:
$P_{0}2V = P \left ( V + \frac{V}{2} \right )$, (1)
где $P_{0}$ - атмосферное давление, $V$ - объём одной цистерны, $P$ - давление сжатого воздуха в состоянии (б).
При переходе (б) —> (в) воздух в левой и средней цистернах независимо изотермически сжимался. Запишем закон Бойля - Мариотта для воздуха в левой цистерне:
$PV = P_{1} \left ( 1 - \frac{3}{11} \right )V$ (2)
и в средней цистерне:
$P \frac{V}{2} = P_{2}(1 - x)V$, (3)
где $x$ - искомая доля объёма средней цистерны, заполненная водой.
В состоянии равновесия (в) давления на концах шлангов равны между собой:
$P_{1} = P_{2} + \rho g \left ( x - \frac{1}{2} \right ) H = P_{0} + \rho g \frac{H}{2}$, (4)
где $H$ - высота цистерн, $\rho$ - плотность воды.
Из (1) находим $P = \frac{4}{3} P_{0}$ и подставив в (2) и (3), выразим из них $P_{1}$ и $P_{2}$:
$P_{1} = \frac{11}{6}P_{0}; P_{2} = \frac{2}{3(1 - x)}P_{0}$.
Подставим найденные выражения в (4):
$\frac{11}{6} P_{0} = \frac{2}{3(1 - x) } P_{0} + \rho \left ( x - \frac{1}{2} \right ) H = P_{0} + \rho g \frac{H}{2}$.
Сравнивая левую и правую часть этого равенства, находим:
$\frac{11}{6} P_{0} = \frac{2}{3(1 - x) } P_{0} + \left ( x - \frac{1}{2} \right ) \frac{5}{3} P_{0}$.
Сократив $P_{0}$, получаем квадратное уравнение относительно $x$:
$5x^{2} - 13 x + 6 = 0$,
которое имеет два решения $x = 3/5$ и $x = 2$. Второе решение, очевидно, не подходит, т.к. оно больше 1.
