Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9559
2018-10-20 
В скафандр космического пирата вмонтирован реактивный двигатель с управляемым углом тяги. Находясь на поверхности Луны, он заметил погоню и включил двигатель. На каком максимальном расстоянии от начального положения он сможет оказаться за время $t$ работы двигателя, оптимальным образом выбрав направление тяги двигателя? Каким при этом должно быть направление его полёта: вертикальным, горизонтальным или под иным определённым углом к горизонту? Масса экипированного пирата $m$, сила тяги двигателя $F$, ускорение свободного падения на Луне $g_{л} (F > mg_{л} )$. Изменением массы можно пренебречь. Расстояние, которое пролетел пират, считать малым по сравнению с размером Луны.
Решение:
Во время работы двигателя на пирата действует сила тяжести $m \vec{g}_{л}$ и сила тяги двигателя $\vec{F}$, направленная под оптимально выбранным углом к силе тяжести. Поэтому, пират будет лететь с ускорением
$\vec{a} = \vec{g}_{л} + \frac{ \vec{F} }{m}$, (1)
и пролетит расстояние
$S = \frac{at^{2} }{2}$, (2)
которое будет тем большим, чем больше $a$.
Обозначим угол между $\vec{g}_{л}$ и $\vec{a}$ буквой $\alpha$. Из (1) следует
$\vec{F^{2}}{m^{2} } = ( \vec{a} - \vec{g}_{л} )^{2} = a^{2} + g_{л}^{2} - 2 ag_{л} \cos \alpha$.
Решая полученное квадратное уравнение, найдём:
$a = g_{л} \cos \alpha \pm \sqrt{g_{л}^{2} cos^{2} \alpha + \frac{ F^{2} }{m^{2} } - g_{л}^{2}}$. (3)
Знак «-» перед корнем не подходит, т.к. даёт отрицательное значение модуля $\vec{a}$. Из полученного выражения видно, что $a$ монотонно возрастает при убывании $\alpha$. Однако $\alpha$ не может быть меньше $\pi /2$, т.к. такие углы соответствуют «полёту» под поверхность Луны. Таким образом, максимально возможное значение $a$ соответствует углу $\alpha = \pi /2$,
т.е. пират должен лететь горизонтально.
При $\alpha = \pi /2$ из (3) получим:
$a = \sqrt{ \frac{F^{2} }{m^{2} } - g_{л}^{2} }$.
Подставив это выражение в (2), получим
Ответ: $S = \frac{t^{2} }{2} \sqrt{ \frac{F^{2} }{m^{2} } - g_{л}^{2} }$.
В скафандр космического пирата вмонтирован реактивный двигатель с управляемым углом тяги. Находясь на поверхности Луны, он заметил погоню и включил двигатель. На каком максимальном расстоянии от начального положения он сможет оказаться за время $t$ работы двигателя, оптимальным образом выбрав направление тяги двигателя? Каким при этом должно быть направление его полёта: вертикальным, горизонтальным или под иным определённым углом к горизонту? Масса экипированного пирата $m$, сила тяги двигателя $F$, ускорение свободного падения на Луне $g_{л} (F > mg_{л} )$. Изменением массы можно пренебречь. Расстояние, которое пролетел пират, считать малым по сравнению с размером Луны.
Решение:
Во время работы двигателя на пирата действует сила тяжести $m \vec{g}_{л}$ и сила тяги двигателя $\vec{F}$, направленная под оптимально выбранным углом к силе тяжести. Поэтому, пират будет лететь с ускорением
$\vec{a} = \vec{g}_{л} + \frac{ \vec{F} }{m}$, (1)
и пролетит расстояние
$S = \frac{at^{2} }{2}$, (2)
которое будет тем большим, чем больше $a$.
Обозначим угол между $\vec{g}_{л}$ и $\vec{a}$ буквой $\alpha$. Из (1) следует
$\vec{F^{2}}{m^{2} } = ( \vec{a} - \vec{g}_{л} )^{2} = a^{2} + g_{л}^{2} - 2 ag_{л} \cos \alpha$.
Решая полученное квадратное уравнение, найдём:
$a = g_{л} \cos \alpha \pm \sqrt{g_{л}^{2} cos^{2} \alpha + \frac{ F^{2} }{m^{2} } - g_{л}^{2}}$. (3)
Знак «-» перед корнем не подходит, т.к. даёт отрицательное значение модуля $\vec{a}$. Из полученного выражения видно, что $a$ монотонно возрастает при убывании $\alpha$. Однако $\alpha$ не может быть меньше $\pi /2$, т.к. такие углы соответствуют «полёту» под поверхность Луны. Таким образом, максимально возможное значение $a$ соответствует углу $\alpha = \pi /2$,
т.е. пират должен лететь горизонтально.
При $\alpha = \pi /2$ из (3) получим:
$a = \sqrt{ \frac{F^{2} }{m^{2} } - g_{л}^{2} }$.
Подставив это выражение в (2), получим
Ответ: $S = \frac{t^{2} }{2} \sqrt{ \frac{F^{2} }{m^{2} } - g_{л}^{2} }$.
