Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 952
2016-09-17 
Школьник заметил, что сферический пузырёк воздуха диаметром $d_{1} = 1 мм$ всплывает в жидкости плотностью $\rho_{ж} = 1 г/см^{3}$ со скоростью $v_{1} = 0,5 см/с$. Пузырёк диаметром $d_{2} = 2 мм$ всплывает со скоростью $v_{2} = 2 см/с$, а сферическая металлическая дробинка такого же диаметра плотностью $\rho_{д} = 5 г/см^{3}$ тонет со скоростью $v_{3} = 8 см/с$. С какой скоростью будет всплывать в этой жидкости пластмассовый шарик плотностью $\rho = (2/3) г/см^{3}$ и диаметром $d = 3 мм$? Считайте, что характер зависимости сил сопротивления движению от скорости и диаметра шарика — степенной, и для всех указанных тел одинаков.
Решение:
При движении шарика в жидкости на него действуют сила тяжести $F_{т}$, направленная вниз, сила Архимеда $F_{А}$ направленная вверх, и сила вязкого трения $F_{тр}$, зависящая, как это следует из условия задачи, от скорости и от диаметра шарика. Две первые силы являются объёмными. Это значит, что их разность пропорциональна разности $\rho — \rho_{ж}$ ($\rho$ — плотность шарика) и объёму шарика, то есть кубу его диаметра $d$:
$|F_{т}-F_{А}| = A| \rho - \rho_{ж}| d^{3}$.
Здесь $A$ — коэффициент пропорциональности. Предположим, что сила вязкого трения зависит от диаметра шарика $d$ и его скорости $v$ следующим образом: $F_{тр} = Bd^{n}v^{m}$, где $B$ — коэффициент пропорциональности, $n$ и $m$ — неизвестные показатели степени. При движении с постоянной скоростью разность сил тяжести и Архимеда равна по величине силе вязкого трения. Тогда для пузырька диаметром $d_{1}$ имеем:
$A \rho_{ж}d_{1}^{3} = Bd_{1}^{n}v_{1}^{m}$, откуда $v_{1} = \sqrt[m]{ \frac{A}{B} \rho_{ж} d_{1}^{3-n}}$.
Аналогично, с учётом условия задачи для пузырька диаметром $d_{2}$ получаем
$v_{2} = \sqrt[m]{ \frac{A}{B} \rho_{ж} (2d_{1})^{3-n}}=4v_{1}=4 \sqrt[m]{ \frac{A}{B} \rho_{ж} d_{1}^{3-n}}$,
откуда следует уравнение
$2^{(3-n)/m} = 2^{2}$, или $3-n=2m$.
Далее, для дробинки диаметром $d_{2}$, учитывая, что $v_{3} = 4v_{2}$ и $\rho_{д} = 5 \rho_{ж}$, получаем
$v_{3} = \sqrt[m]{ \frac{A}{B} ( \rho_{д} - \rho_{ж})d_{2}^{3-n}} = \sqrt[m]{ \frac{A}{B} \cdot 4 \rho_{ж} d_{2}^{3-n}} = 4 \sqrt[m]{ \frac{A}{B} \rho_{ж} d_{2}^{3-n}} $,
откуда находим, что $m = 1$. Зная $m$, определяем, что и $n = 1$. Значит, зависимость $F_{тр}(d, v)$ имеет следующий вид: $F_{тр} = Bdv$.
Теперь можно найти скорость $u$, с которой будет всплывать пластмассовый шарик. Учитывая, что его плотность равна $\frac{2}{3} \rho_{ж}$, получаем:
$u = \frac{A}{B} \left ( \rho_{ж} - \frac{2}{3} \rho_{ж} \right ) \cdot (3d_{1})^{2} = 3 \frac{A}{B} \rho_{ж}d_{1}^{2} = 3 v_{1} = 1,5 см/с$.
Школьник заметил, что сферический пузырёк воздуха диаметром $d_{1} = 1 мм$ всплывает в жидкости плотностью $\rho_{ж} = 1 г/см^{3}$ со скоростью $v_{1} = 0,5 см/с$. Пузырёк диаметром $d_{2} = 2 мм$ всплывает со скоростью $v_{2} = 2 см/с$, а сферическая металлическая дробинка такого же диаметра плотностью $\rho_{д} = 5 г/см^{3}$ тонет со скоростью $v_{3} = 8 см/с$. С какой скоростью будет всплывать в этой жидкости пластмассовый шарик плотностью $\rho = (2/3) г/см^{3}$ и диаметром $d = 3 мм$? Считайте, что характер зависимости сил сопротивления движению от скорости и диаметра шарика — степенной, и для всех указанных тел одинаков.
Решение:
При движении шарика в жидкости на него действуют сила тяжести $F_{т}$, направленная вниз, сила Архимеда $F_{А}$ направленная вверх, и сила вязкого трения $F_{тр}$, зависящая, как это следует из условия задачи, от скорости и от диаметра шарика. Две первые силы являются объёмными. Это значит, что их разность пропорциональна разности $\rho — \rho_{ж}$ ($\rho$ — плотность шарика) и объёму шарика, то есть кубу его диаметра $d$:
$|F_{т}-F_{А}| = A| \rho - \rho_{ж}| d^{3}$.
Здесь $A$ — коэффициент пропорциональности. Предположим, что сила вязкого трения зависит от диаметра шарика $d$ и его скорости $v$ следующим образом: $F_{тр} = Bd^{n}v^{m}$, где $B$ — коэффициент пропорциональности, $n$ и $m$ — неизвестные показатели степени. При движении с постоянной скоростью разность сил тяжести и Архимеда равна по величине силе вязкого трения. Тогда для пузырька диаметром $d_{1}$ имеем:
$A \rho_{ж}d_{1}^{3} = Bd_{1}^{n}v_{1}^{m}$, откуда $v_{1} = \sqrt[m]{ \frac{A}{B} \rho_{ж} d_{1}^{3-n}}$.
Аналогично, с учётом условия задачи для пузырька диаметром $d_{2}$ получаем
$v_{2} = \sqrt[m]{ \frac{A}{B} \rho_{ж} (2d_{1})^{3-n}}=4v_{1}=4 \sqrt[m]{ \frac{A}{B} \rho_{ж} d_{1}^{3-n}}$,
откуда следует уравнение
$2^{(3-n)/m} = 2^{2}$, или $3-n=2m$.
Далее, для дробинки диаметром $d_{2}$, учитывая, что $v_{3} = 4v_{2}$ и $\rho_{д} = 5 \rho_{ж}$, получаем
$v_{3} = \sqrt[m]{ \frac{A}{B} ( \rho_{д} - \rho_{ж})d_{2}^{3-n}} = \sqrt[m]{ \frac{A}{B} \cdot 4 \rho_{ж} d_{2}^{3-n}} = 4 \sqrt[m]{ \frac{A}{B} \rho_{ж} d_{2}^{3-n}} $,
откуда находим, что $m = 1$. Зная $m$, определяем, что и $n = 1$. Значит, зависимость $F_{тр}(d, v)$ имеет следующий вид: $F_{тр} = Bdv$.
Теперь можно найти скорость $u$, с которой будет всплывать пластмассовый шарик. Учитывая, что его плотность равна $\frac{2}{3} \rho_{ж}$, получаем:
$u = \frac{A}{B} \left ( \rho_{ж} - \frac{2}{3} \rho_{ж} \right ) \cdot (3d_{1})^{2} = 3 \frac{A}{B} \rho_{ж}d_{1}^{2} = 3 v_{1} = 1,5 см/с$.
